Question

17．如圖，⊙O的半徑是3，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP，點(diǎn)M是弧$\widehat{APB}$上的任意一點(diǎn)（與A、B不重合），MN⊥AB于N，以M為圓心，MN為半徑作⊙M，分別過(guò)A、B作⊙M的切線，兩切線交于點(diǎn)C．
（1）求弦AB的長(zhǎng)；
（2）求∠ACB的大��；
（3）設(shè)△ABC的面積為S，若S=4$\sqrt{3}$MN²，求⊙M的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OA，OP與AB的交點(diǎn)為Q，則△OAQ為直角三角形，且OA=3，OQ=$\frac{3}{2}$，借助勾股定理可求得AQ的長(zhǎng)；
（2）判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙M是△ABC的內(nèi)切圓，所以AM和BM分別為∠CAB和∠ABC的角平分線，因此只要∠MAN+∠MBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠MAN+∠MBA等于弧AB所對(duì)的圓周角，這個(gè)值等于∠AOB值的一半；
（3）由題可知S=S_△ABM+S_△ACM+S_△BCM=$\frac{1}{2}$（6$\sqrt{3}$+2CE），結(jié)合圓M切線的性質(zhì)推知∠ECM=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，在直角△CEM中，利用勾股定理求得CE的長(zhǎng)度，則CD=CE=$\sqrt{3}$ME=$\sqrt{3}$MN．由已知條件S=4$\sqrt{3}$MN²推知4$\sqrt{3}$MN²=$\frac{1}{2}$（6$\sqrt{3}$+2CE）•MN，由此求得MN的值，即圓M的半徑．

解答 解：（1）連接OA，取OP與AB的交點(diǎn)為Q，則有OA=3．
∵弦AB垂直平分線段OP，
∴OQ=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{3}{2}$，AQ=BQ，
在Rt△OAF中，
∵AQ=$\sqrt{O{A}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{9-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=2AQ=3$\sqrt{3}$．

（2）連接AD、BD，
由（1），OQ=$\frac{3}{2}$，AQ=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴tan∠AOP=$\frac{AQ}{OQ}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∵點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，
∴∠CAB=2∠MAN，∠CBA=2∠MBA，
∵∠MAN+∠MBA=$\frac{1}{2}$∠AOM+$\frac{1}{2}$∠MOB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠ACB=60°．

（3）取AC、BC與圓M的切點(diǎn)分別是D、E，連接OM、MD、MC、ME，則有MD=ME=MN，MD⊥AC，ME⊥MC，
∴S=S_△ABM+S_△ACM+S_△BCM=$\frac{1}{2}$AB•MN+$\frac{1}{2}$BC•ME+$\frac{1}{2}$AC•MD=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）•MN=$\frac{1}{2}$（6$\sqrt{3}$+2CE），
∵DE、CD是圓M的切線，
∴∠ECM=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∴在直角△CEM中，CE=$\sqrt{3}$ME，
∴CD=CE=$\sqrt{3}$ME=$\sqrt{3}$MN．
∵S=4$\sqrt{3}$MN²，
∴4$\sqrt{3}$MN²=$\frac{1}{2}$（6$\sqrt{3}$+2CE）•MN，
∴MN=1，即圓M的半徑是1．

點(diǎn)評(píng) 本題巧妙將垂徑定理、勾股定理、內(nèi)切圓、切線長(zhǎng)定理、三角形面積等知識(shí)綜合在一起，需要考生從前往后按順序解題，前面問(wèn)題為后面問(wèn)題的解決提供思路，是一道難度較大的綜合題．