Question

5．已知：如圖，⊙O過(guò)△ABC的B、C兩點(diǎn)，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．
（1）求證：△AEF∽△ACB．
（2）若AE=$2\sqrt{5}$，AF=5，BC=4，AC=8，連結(jié)BF．
①求證：BF為直徑；
②過(guò)E作EH⊥AC，垂足為H．求證：EH與⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠ABC=∠AFE，從而根據(jù)∠A=∠A，∠ABC=∠AFE可證明△AEF∽△ACB；
（2）①由相似三角形的性質(zhì)先求得AB=4$\sqrt{5}$，在△ACB中，利用勾股定理的逆定理可證明△ABC為直角三角形，故此BF為圓O的直徑；②連接OE．由△AEF∽△ACB，∠C=90°，可求得∠AEF=90°，在Rt△AEF中，利用勾股定理求得EF=$\sqrt{5}$，然后由BE=AB-AE得到BE=2$\sqrt{5}$，從而可知EF是AB的垂直平分線，從而得到BF=AF，于是有∠A=∠ABF，接下來(lái)證明∠FEH=∠A=∠ABF，故此∠HEF+∠OEF=∠ABF+∠EFB=90°，從而得到EH是圓O的切線．

解答 證明：（1）∵四邊形BCFE是圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC=∠AFE．
又∵∠A=∠A
∴△AEF∽△ACB．
（2）①∵△AEF∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AE}$．
∴$\frac{AB}{8}=\frac{5}{2\sqrt{5}}$．
解得：AB=4$\sqrt{5}$．
∵AB=4$\sqrt{5}$，AC=8，BC=4．
∴AB²=AC²+BC²．
∴△ABC為直角三角形．
∴∠C=90°．
∴BF是圓O的直徑．
②連接OE．

∵BF是圓O的直徑，
∴∠FEB=90°．
∴EF⊥AB．
∵BE=AB-AE=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
∴BE=AE．
∴EF是AB的垂直平分線．
∴BF=AF．
∴∠A=∠ABF．
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE．
∴∠A+∠OEF=∠EBF+∠BFE=90°．
∵EH⊥AC，
∴∠HEF+∠EFH=90°．
又∵∠FEA+∠A=90°
∴∠HEF=∠A．
∴∠HEF+∠OEF=90°，即∠OEH=90°．
∴EH與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的圓的性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定、勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，證得∠OEH=90°是解題的關(guān)鍵．