Question

1．已知直角梯形ABCF中，AF∥BC，∠ABC=90°，點E為AB的中點，CD垂直平分EF于G，交AF于D，M為CG上一點，MG=EG，連BM下列結(jié)論：①若AE=AF，則CD=EF；②若EF=$\sqrt{2}$BM，則AB=AF；③若AE=2$\sqrt{2}$AD，則BC=5AD．其中正確的是（　�。�

• A． 只有①②
• B． 只有②③
• C． 只有①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①不正確；證出△AEF是等腰直角三角形，得EF=$\sqrt{2}$AE，由題意得出D與A重合，△ABC是等腰直角三角形，得CD=$\sqrt{2}$AB，證出CD=2$\sqrt{2}$AE，得出CD=2EF，即可得出結(jié)論；
②正確；連接MF、ME，證明△MEG、△MEF是等腰直角三角形，得出EF=$\sqrt{2}$EM=$\sqrt{2}$FM=$\sqrt{2}$BM，得出BM=EM=FM，證出A、E、M、F四點共圓，由圓周角定理得出∠FAM=∠EAM，∠AFM=∠BEM=∠EBM，證出△AFM≌△ABM，即可得出結(jié)論；
③正確；連接DE，作EK∥BC交CD于K，則DK=CK，EK∥AF，證出EK=DF，設(shè)AD=1，則AE=2$\sqrt{2}$，由勾股定理求出DF=DE=3，得出EK=DF=3，證出EK是梯形ABCF的中位線，得出EK=$\frac{1}{2}$（AD+BC），求出BC=5，即可得出結(jié)果．

解答 解：①不正確；理由如下：如圖1所示：
∵AF∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAF=90°，
∵AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$AE，
∵CD垂直平分EF于G，
∴D與A重合，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$AB，
∵點E為AB的中點，
∴AB=2AE，
∴CD=2$\sqrt{2}$AE，
∴CD=2EF，
∴CD=EF不正確；
②正確；理由如下：
連接MF、ME，如圖2所示：
∵CD垂直平分EF于G，
∴MF=ME，
∵MG=EG，
∴△MEG、△MEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$EM=$\sqrt{2}$FM=$\sqrt{2}$BM，
∴BM=EM=FM，
∵∠EMF+∠BAF=180°，
∴A、E、M、F四點共圓，
∴∠FAM=∠EAM，∠AFM=∠BEM=∠EBM，
∴△AFM≌△ABM，
∴AB=AF；
③正確；理由如下：
連接DE，作EK∥BC交CD于K，如圖3所示：
則DK=CK，EK∥AF，
∴EK：DF=EG：FG，
∵EG=FG，
∴EK=DF，
設(shè)AD=1，則AE=2$\sqrt{2}$，
∴DF=DE=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=3，
∴EK=DF=3，
∵EK是梯形ABCF的中位線，
∴EK=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∴BC=5，
∴BC=5AD．
正確的是②③，故選：B．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、四點共圓、圓周角定理、梯形中位線定理等知識；本題綜合性強，難度較大，需要通過作輔助線才能得出結(jié)論．