Question

13．如圖（僅供參考），已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜6），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．

（1）用含t的式子表示 AE=t，AD=12-2t；
（2）如圖2，在D、E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連接DE，當(dāng)t=3或$\frac{24}{5}$時(shí)，△DEF為直角三角形；
（4）如圖3，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，試問(wèn)當(dāng)t=4時(shí)，四邊形AEA′D為菱形．請(qǐng)說(shuō)明理由；
（5）在（4）的條件下，判斷此時(shí)點(diǎn)A′是否在BC上．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意直接表示出來(lái)即可；
（2）由“在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”求得DF=t，又AE=t，則DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四邊形AEFD的對(duì)邊平行且相等”，由此得四邊形AEFD是平行四邊形；
（3）①顯然∠DFE＜90°；
②如圖1，當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，此時(shí) AE=$\frac{1}{2}$AD，根據(jù)題意，列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程來(lái)求t的值；
③如圖2，當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，此時(shí)∠ADE=90°-∠A=30°，此時(shí)AD=$\frac{1}{2}$AE，根據(jù)題意，列出關(guān)于t的方程，通過(guò)解方程來(lái)求t的值；
（4）如圖3，若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD，則t=12-2t，所以t=4．即當(dāng)t=4時(shí)，四邊形AEA′D為菱形；
（5）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出GE=2BE，進(jìn)而得出，GE=4=EA′，故點(diǎn)G與點(diǎn)A′重合，即可得出答案．

解答 （1）解：∵E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，
∴AE=t，
∵點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，AC=12cm，
∴AD=12-2t；
故答案為：t，12-2t；

（2）證明：如圖1，∵DF⊥BC，∠C=30°
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×2t=t
∵AE=t
∴DF=AE，
∵∠ABC=90°，DF⊥BC
∴DF∥AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（3）解：①顯然∠DFE＜90°；
②如圖1，當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，
此時(shí) AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2t=t，
∴t=$\frac{1}{2}$（12-2t），
解得：t=3，
③如圖2，當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，此時(shí)∠ADE=90°
∴∠AED=90°-∠A=30°
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，
∴12-2t=$\frac{1}{2}$t
解得：t=$\frac{24}{5}$，
綜上：當(dāng)t=3秒或t=$\frac{24}{5}$秒時(shí)，△DEF為直角三角形；
故答案為：3或$\frac{24}{5}$；

（4）解：如圖3，若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD
則t=12-2t
解得：t=4
∴當(dāng)t=4時(shí)，四邊形AEA′D為菱形；
故答案為：4；

（5）解：設(shè)EA′交BC于點(diǎn)G
在Rt△EBG中，∠BEG=180°-∠AEG=60°，
則GE=2BE，
∵BE=AB-AE=6-4=2，
∴GE=4=EA′，
∴點(diǎn)G與點(diǎn)A′重合，
∴點(diǎn)A在BC上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題以及菱形的判定與性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)，解題時(shí)，需要分類(lèi)討論進(jìn)而求出符合題意的答案．