Question

11．如圖，已知△ABC中，△ABC的平分線AD與BC邊相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D分別作AB、AC的平行線交AC、AB于E、F．聯(lián)結(jié)EF與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）求證：$\frac{GF}{GE}$=$\frac{AB}{AC}$．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)題意可得四邊形AEDF是平行四邊形，然后再證明AE=ED，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得結(jié)論；
（2）根據(jù)角平分線定理得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{GF}{GE}=\frac{DF}{CE}$，由平行線分線段成比例定理得到$\frac{BD}{CD}=\frac{AE}{CE}$，如果等量代換即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵過(guò)D點(diǎn)分別作AC和AB的平行線，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠DAC，
∴∠BAD=∠EDA，
∴AE=ED
∴四邊形AEDF為菱形；

（2）∵△ABC的平分線AD與BC邊相交于點(diǎn)D，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，
∵DF∥AC，
∴△GFD∽△GEC，
∴$\frac{GF}{GE}=\frac{DF}{CE}$，
∵DE∥AB，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AE}{CE}$，
∵DF=AE，
∴$\frac{GF}{GE}$=$\frac{AB}{AC}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定理，熟練掌握角平分線定理是解題的關(guān)鍵．