Question

17．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．
（1）直線BF垂直于CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖1），求證：AE=CG；
（2）直線AH垂直于CE，垂足為H，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M（如圖2），求證：△BCE≌△CAM．

Answer 1

分析 （1）先證出∠ACE=∠CBG，再由ASA證明△ACE≌△CBG，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）先證出∠CEB=∠CMA，再由AAS證明△BCE≌△ACM．

解答 解：（1）∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°．
∴∠CAE=∠BCG．
又BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
又∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG．
在△AEC和△CGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BCG}\\{AC=BC}\\{∠ACE=∠CBG}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△CGB．
∴AE=CG．
（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°．
∴∠CMA=∠BEC．
又AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠CMA}\\{∠CBE=∠ACM}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴∠BCE≌△CAM（AAS）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．