Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），C（3，1）拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2的圖象過C點，交y軸于點D．
（1）在后面的橫線上直接寫出點D的坐標及b的值：（0，-2），b=$\frac{1}{2}$；
（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l，設(shè)l與x軸交于點G（x，0），當OG等于多少時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？
（3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，直接寫出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應(yīng)關(guān)系，可得D點坐標；
（2）根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)三角形的面積，可得△ABC的面積，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AC，BC的解析式，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得EF的長，根據(jù)△EFC的面積與△ABC的關(guān)系，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)一個角的兩邊平行于另一個角的兩邊，可得這兩個角相等，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得PN，AN，根據(jù)點的坐標，可得P點，根據(jù)點的坐標滿足函數(shù)解析式，可得點在函數(shù)圖象上．

解答 解：（1）將C點坐標代入解析式，得
$\frac{1}{2}$×3²+3b-2=1，
解得b=$\frac{1}{2}$，
函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2，
當x=0時，y=-2，即D（0，-2），
故答案為：（0，-2），$\frac{1}{2}$；

（2）在Rt△A0B中，OA=1，OB=2，由勾股定理，得
AB²=OA²+OB²=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{5}{2}$，
設(shè)l與AC、BC分別交于E，F(xiàn)，直線BC所在的直線解析式為y=kx+b，
將B（0，2），C（3，1）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+2，
同理直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∴點E，F(xiàn)的坐標為E（x，$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（x，-$\frac{1}{3}$x+2），
EF=（-$\frac{1}{3}$x+2）-（$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{6}$x，
過C作CH⊥x軸于H點，
，
在△CEF中，EF邊上的高h=OH-x=3-x，
由題意可知S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$EF•h，
即$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{6}$x）（3-x）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$，
解得x₁=3-$\sqrt{3}$，x₂=3+$\sqrt{3}$（不符合題意，舍），
當OG=3-$\sqrt{3}$時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分；

（3）拋物線上存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形，
如圖2，
過C作CM⊥y軸于點M，則CM=3，OM=1，BM=OB-OM=1．
過點P作PA∥BC，且AP=BC，連接BP，則四邊形PABC是平行四邊形，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PA∥BC}\\{AN∥MC}\end{array}\right.$，
∴∠PAN=∠BCM．
過點P作PN⊥x軸于N，
在△APN和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAN=∠BCM}\\{∠PNA=∠BMC}\\{PA=BC}\end{array}\right.$
∴△PAN≌△BCM，
∴PN=BM=1，AN=CM=3，
∴ON=AN-OA=2，
∴P點坐標為（-2，1）．
拋物線解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-2，當x=-2時，y=1，即點P在拋物線上．
∴存在符合條件的點P，點P的坐標為（-2，1）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用面積的關(guān)系得出關(guān)于x的方程，又利用了平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標；解（3）的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出PN，AN的長，又利用了點與函數(shù)圖象的關(guān)系．