Question

11．已知四邊形ABCD的頂點為A（m，n），B（6，1），C（3，3），D（2，5），求m和n的值，使四邊形ABCD為直角梯形．

Answer 1

分析 分別表示出$\overrightarrow{AB}$=（6-m，1-n），$\overrightarrow{CD}$=（1，-2），$\overrightarrow{AD}$=（2-m，5-n），$\overrightarrow{BC}$=（-3，2），再根據(jù)四邊形ABCD是直角梯形需要滿足的條件即可求出．

解答 解：∵A（m，n），B（6，1），C（3，3），D（2，5），
∴$\overrightarrow{AB}$=（6-m，1-n），$\overrightarrow{CD}$=（3-2，3-5）=（1，-2），$\overrightarrow{AD}$=（2-m，5-n），$\overrightarrow{BC}$=（3-6，3-1）=（-3，2），
當$\overrightarrow{AB}$$∥\overrightarrow{CD}$時，即1-n=-12+2m，
∴2m+n=13，
當$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{CD}$=0時，即2-m-10+2n=0，
∴2n-m=8，
解得：m=$\frac{18}{5}$，n=$\frac{29}{5}$，
$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{BC}$時，即-3（5-n）=2（2-m），
∴3n+2m=19，
當$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，即-18+3m+2-2n=0，
∴3m-2n=16，
解得：m=$\frac{86}{13}$，n=$\frac{25}{13}$，
綜上可得：當m=$\frac{18}{5}$，n=$\frac{29}{5}$，或m=$\frac{86}{13}$，n=$\frac{25}{13}$時，四邊形ABCD為直角梯形．

點評 本題考查了兩個向量共線的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，正確理解向量共線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．