Question

6．如圖，已知P為⊙O外一點，PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，AB交OP于點E，弦CD過E點．求證：∠APC=∠BPD．

Answer 1

分析 連結(jié)OA、OC、OD，如圖，利用切線長定理得PA=PB，∠APO=∠BPO，而OA=OB，可判斷PO垂直平分AB，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥PA，加上∠AOE=∠POA，則可判斷Rt△OAE∽Rt△OPA，得到OA：OE=OP：OA，即OA²=OE•OP，由于OC=OD=OA，所以O(shè)C²=OE•OP，OD²=OE•OP，加上∠COE=∠POC，所以△OCE∽△OPC，根據(jù)相似的性質(zhì)得∠OCD=∠2，同理可得∠ODC=∠1，而∠OCD=∠ODC，則∠1=∠2，從而可得∠APC=∠BPD．

解答 證明：連結(jié)OA、OC、OD，如圖，
∵PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，
∴PA=PB，
而OA=OB，
∴PO垂直平分AB，
∴∠APO=∠BPO，
∵PA切⊙O于點A，
∴OA⊥PA，
而∠AOE=∠POA，
∴Rt△OAE∽Rt△OPA，
∴OA：OE=OP：OA，
∴OA²=OE•OP，
∵OC=OD=OA，
∴OC²=OE•OP，OD²=OE•OP，
而∠COE=∠POC，
∴△OCE∽△OPC，
∴∠OCD=∠2，
同理得△ODE∽△OPD，
∴∠ODC=∠1，
而OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠1=∠2，
∴∠APO+∠2=∠BPO+∠1，
即∠APC=∠BPD．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．