Question

8．如圖：四邊形ABCD為矩形，E在對(duì)角線AC上，F(xiàn)在邊BC的延長線上，且$\frac{DE}{EF}$=$\frac{BC}{AB}$，求證：DE⊥EF．

Answer 1

分析 作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，由四邊形ABCD是矩形，得到∠B=∠ADC=DCB=90°，AD=BC，由于EM∥AB，EN∥AD，推出△CEM∽△CAB，△CEN∽△CAD，得到$\frac{EM}{AB}=\frac{CE}{CA}$，$\frac{CE}{CA}=\frac{EN}{AD}$，等量代換得到$\frac{EM}{AB}=\frac{EN}{AD}$，根據(jù)比例的性質(zhì)得到$\frac{EM}{EN}=\frac{AB}{AD}$，于是推出$\frac{EM}{EN}=\frac{EF}{DE}$．證得Rt△FEM∽R(shí)t△DEN，得到∠EFM∠EDN，于是得到E，C，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，即可得到結(jié)論．

解答 解：作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠ADC=DCB=90°，AD=BC，
∴EM∥AB，EN∥AD，
∴△CEM∽△CAB，△CEN∽△CAD，
∴$\frac{EM}{AB}=\frac{CE}{CA}$，$\frac{CE}{CA}=\frac{EN}{AD}$，
∴$\frac{EM}{AB}=\frac{EN}{AD}$，
∴$\frac{EM}{EN}=\frac{AB}{AD}$，
∵AD=BC，
∴$\frac{EM}{EN}=\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{EM}{EN}=\frac{EF}{DE}$．
∴Rt△FEM∽R(shí)t△DEN，
∴∠EFM∠EDN，
∴E，C，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，
∴∠DEF=∠DCF=90°，
∴DE⊥EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，矩形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．