Question

3．如圖，在菱形ABCD中，兩條對(duì)角線長(zhǎng)是AC=10，BD=6，F(xiàn)是線段AO上一點(diǎn)（不與A、O重合），Q是線段OC上一點(diǎn)，且AP=CQ，分別將∠BAD和∠BCD折疊，使A、C兩點(diǎn)都在對(duì)角線AC上，折痕分別是EH和FG，EH過(guò)P點(diǎn)，F(xiàn)G過(guò)Q點(diǎn)，連接EF、HG，再把折疊部分鋪平．
（1）四邊形EFGH的形狀是矩形；
（2）設(shè)AP=x，四邊形EFGH的面積為y；
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍；
②當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，求面積y的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠HAP=∠EAP=∠GCQ=∠FCQ，由折疊的性質(zhì)得到AP⊥HE，CQ⊥GF，推出△APH≌△CQG，得到PH=GQ，同理PH=GQ=PE=FQ，證得四邊形EFGH是平行四邊形，得到HG∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AHF=∠ADB，∠HAP=∠DHG，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=5，AC⊥BD，由折疊的性質(zhì)得HE⊥BD，推出△AEH∽△ABD，得到$\frac{HE}{BD}=\frac{AP}{AO}$，求得HE=$\frac{6}{5}$x，根據(jù)矩形的面積公式得到y(tǒng)=HE•PQ=$\frac{6}{5}$x•（10-2x），于是得到結(jié)論；②根據(jù)正方形到現(xiàn)在列方程得到x=$\frac{25}{8}$，即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）四邊形EFGH的形狀是矩形；
∵在菱形ABCD中，
∴∠HAP=∠EAP=∠GCQ=∠FCQ，
由折疊的性質(zhì)得：AP⊥HE，CQ⊥GF，
在△APH與△CQG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAP=∠GCQ}\\{∠APH=∠CQG=90°}\\{AP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△APH≌△CQG，
∴PH=GQ，
同理PH=GQ=PE=FQ，
∴HE=GF，
∵HE∥GF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∴HG∥EF，
∴∠AHF=∠ADB，∠HAP=∠DHG，
∵∠HAP+∠AHP=90°，
∴∠AHP+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四邊形EFGH是矩形，
故答案為：矩形；

（2）①∵在菱形ABCD中，
∴AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=5，AC⊥BD，
由折疊的性質(zhì)得HE⊥BD，
∴HE∥BD，
∴△AEH∽△ABD，
∴$\frac{HE}{BD}=\frac{AP}{AO}$，
∴$\frac{HE}{6}=\frac{x}{5}$，
∴HE=$\frac{6}{5}$x，
∵PQ=10-2x，
∴y=HE•PQ=$\frac{6}{5}$x•（10-2x），
即y=-$\frac{12}{5}$x²+12x，（0＜y≤15）；

②當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，即HE=EF，
∴$\frac{6}{5}$x=10-2x，
解得：x=$\frac{25}{8}$，
∴y=-$\frac{12}{5}$x²+12x=$\frac{225}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．