Question

8．如圖1，△ABE、△BCD均為直角三角形，且點(diǎn)E在線段BC上，∠ABC=∠BCD=90°，AB=nBE，EC=kCD，AE⊥BD于H．
（1）當(dāng)n=2，k=1時(shí)，求證：AE=BD；
（2）在（1）的條件下，求tan∠BCH的值；
（3）如圖2，當(dāng)AE平分BD時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出k=0（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）由∠ABC=∠BCD=90°，AE⊥BD，于是得到∠A+∠ABH=∠ABH+∠DBC，證得∠A=∠DBC，由于tanA=tan∠DBC=$\frac{BE}{AB}$=2，證得CD=BE，于是得到△ABE≌△BCD，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)BE=1，則AB=n，根據(jù)勾股定理可得AE=$\sqrt{{n}^{2}+1}$，由（1）證得△ABE≌△BCD，于是得到CD=BE=1，BC=AB=n，根據(jù)三角形的面積公式得到BH=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，求得HD=BD-BH=AE-BH=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$=$\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，如圖1，延長(zhǎng)CH交AB于點(diǎn)M，證得△MHB∽△CHD，求得MB=$\frac{1}{{n}^{2}}$，即可得到結(jié)果；
（3）當(dāng)AE平分BD時(shí)，即BH=HD，即$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$=$\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，求得n=1（負(fù)值舍去），由于EC=kCD，即BC-BE=kCD，得到k=0，此時(shí)△ABE和△BCD均為等腰直角三角形，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠BCD=90°，AE⊥BD，
∴∠A+∠ABH=∠ABH+∠DBC，
∴∠A=∠DBC，
∵tanA=tan∠DBC=$\frac{BE}{AB}$=2，
∴BC=2CD，
∵CD=CE，
∴CD=BE，
在△ABE與△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DBC}\\{∠ABC=∠BCD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴AE=BD；

（2）設(shè)BE=1，則AB=n，根據(jù)勾股定理可得AE=$\sqrt{{n}^{2}+1}$，
由（1）證得△ABE≌△BCD，
∴CD=BE=1，BC=AB=n，
∵AH⊥BD，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$AE•BH，
∴BH=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
∴HD=BD-BH=AE-BH=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$=$\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
如圖1，延長(zhǎng)CH交AB于點(diǎn)M，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
∴△MHB∽△CHD，
∴$\frac{MB}{CD}=\frac{BH}{CD}$，
即$\frac{MB}{1}=\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴MB=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴tan∠BCH=$\frac{MB}{BC}$=$\frac{MB}{AB}$=$\frac{1}{{n}^{3}}$；

（3）當(dāng)AE平分BD時(shí)，
即BH=HD，
即$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$=$\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
∴n=1（負(fù)值舍去），
∵EC=kCD，
即BC-BE=kCD，
即n-1=k•1，
∴k=0，
此時(shí)△ABE和△BCD均為等腰直角三角形，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．