Question

7．有兩張相同的矩形紙片ABCD和A′B′C′D′，其中AB=3，BC=8．
（1）若將其中一張矩形紙片ABCD沿著BD折疊，點A落在點E處（如圖1），設(shè)DE與BC相交于點F，求BF的長；
（2）若將這兩張矩形紙片交叉疊放（如圖2），試判斷四邊形MNPQ的形狀，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠ADB=∠EDB，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ADB=∠DBC，然后求出∠FBD=∠FDB，根據(jù)等角對等邊可得BF=DF，設(shè)BF=x，表示出CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根據(jù)MN∥PQ，MQ∥AP，所以四邊形MNPQ是平行四邊形，過點N分別做NE⊥MQ，NF⊥QP，垂足分別為E、F，可得NF=NE，根據(jù)S_{平行四邊形MNPQ}=NE•MQ=NF•PQ，所以MQ=PQ，所以四邊形MNPQ是菱形．

解答 解：（1）由折疊得，∠ADB=∠EDB，
∵矩形ABCD的對邊AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠FBD=∠FDB，
∴BF=DF，
設(shè)BF=x，則CF=8-x，
在Rt△CDF中，CD²+CF²=DF²
即3²+（8-x）²=x²，
解得：x=$\frac{73}{16}$，
即BF=$\frac{73}{16}$；
（2）四邊形MNPQ的形狀是菱形，
證明：∵矩形紙片ABCD和A′B′C′D′，
∴MN∥PQ，MQ∥AP，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形，①
如圖2，

過點N分別做NE⊥MQ，NF⊥QP，垂足分別為E、F，
∴NF=NE，
∵S_{平行四邊形MNPQ}=NE•MQ=NF•PQ，
∴MQ=PQ，②
由①②知，四邊形MNPQ是菱形．

點評 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，菱形的判定與性質(zhì)，熟記翻折的性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．