Question

12．如圖，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函數y₁=kx+b的圖象和反比例函數y₂=$\frac{m}{x}$的圖象的兩個交點．
（1）求一次函數、反比例函數的關系式；
（2）求△AOB的面積；
（3）當自變量x滿足什么條件時，y₁＞y₂？（直接寫出答案）
（4）將反比例函數y₂=$\frac{m}{x}$的圖象向右平移n（n＞0）個單位，得到的新圖象經過點（3，-4），求對應的函數關系式y(tǒng)₃．（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）把B（2，-4）代入反比例函數y₂=$\frac{m}{x}$即可得反比例函數的解析式，把A的坐標代入反比例函數的解析式即可求得A（-4，2），然后利用待定系數法即可求得一次函數的解析式；
（2）根據一次函數解析式求C點坐標，確定△AOC的底邊OC，然后根據S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC求出△AOB的面積．
（3）觀察圖象得到當x＜-4或0＜x＜2時，一次函數y₁的圖象都在反比例函數y₂的圖象的上方，即y₁＞y₂．
（4）根據題意得到的新圖象的解析式為y=-$\frac{8}{x-n}$，然后把（3，-4）代入即可得到n的值，從而求得對應的函數關系式y(tǒng)₃的解析式．

解答 解：（1）把B（2，-4）代入反比例函數y₂=$\frac{m}{x}$得m=-4×2=-8，
∴反比例函數的解析式y(tǒng)₂=-$\frac{8}{x}$，
∵A（-4，n）是反比例函數y₂=$\frac{m}{x}$的圖象上的點，
∴n=-$\frac{8}{-4}$=2，
∴A（-4，2），
∵A（-4，2），B（2，-4）是一次函數y₁=kx+b的圖象上的點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函數的解析式為y₁=-x-2．

（2）由直線y=-x-2，得C（-2，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC
=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4
=6．

（3）由圖象可知：當x＜-4或0＜x＜2 時，y₁＞y₂．

（4）函數y=-$\frac{8}{x}$的圖象向右平移n（n＞0）個單位長度，得到的新圖象的解析式為y=-$\frac{8}{x-n}$，
把（3，-4）代入得-4=-$\frac{8}{3-n}$，解得n=1；
所以對應的函數關系式為y₃=-$\frac{8}{x-1}$．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：同時滿足反比例函數的解析式和一次函數的解析式的點的坐標為它們圖象的交點坐標．也考查了待定系數法求函數的解析式、坐標軸上點的坐標特點以及會運用圖形的平移確定點的坐標．