Question

4．如圖，A、B是直線a上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C、D在直線b上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），AB=CD=4，已知a∥b，且a與b間的距離為$\sqrt{3}$，連接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折疊得△A₁BC．
（1）當(dāng)A₁、D兩點(diǎn)重合時(shí)，在圖1中畫(huà)出相應(yīng)圖形，并直接給出AC的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)A₁、D兩點(diǎn)不重合時(shí)，如圖2，連接A₁D，請(qǐng)直接說(shuō)出A₁D與BC的位置關(guān)系；
（3）如圖3，以A₁、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積是否存在最大值，若存在，求出該四邊形的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ABC沿BC折疊得△A₁BC，AC=CD，即可；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠A₁BC=∠ABC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A₁BC=∠BCD，推出∠BA₁D=∠A₁DC，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）當(dāng)以A₁、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，四邊形的面積的最大，Ⅰ、過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ACB=∠A₁CB=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CE²=AE×BE，列方程得到A₁C，BC，于是得到結(jié)論；Ⅱ、如圖2，當(dāng)BC⊥AB時(shí)，A₁點(diǎn)在AB上，根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)A₁D兩點(diǎn)重合時(shí)，
由△ABC沿BC折疊得△A₁BC，
∴AC=CD，
∵CD=4，
∴AC=4
故答案為4；
（2）A₁D∥BC，
理由如下：設(shè)A₁B、CD相交于點(diǎn)O．
由翻折可知：∠A₁BC=∠ABC，
∵a∥b，
∴∠A₁BC=∠BCD，
∴OC=OB，
∵AB=A₁B=CD，
∴A₁O=DO，
∴∠BA₁D=∠A₁DC，
∵∠BA₁D+∠A₁DC=∠A₁BC+∠BCD=∠BOD，
∴2∠BA₁D=2∠A₁BC，
即∠BA₁D=∠A₁BC，
∴A₁D∥BC；
（3）∵C、D是動(dòng)點(diǎn)，AB=A1B=4，
∴A₁運(yùn)動(dòng)的軌跡是以B為圓心，4為半徑的部分圓弧，當(dāng)A₁處在直線a以下的圓弧部分并且A₁B⊥直線a時(shí)，以A₁、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最大，
∵A₁B⊥AB，
∴△AA₁B是等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{6}$，
∵BC∥A₁D，
∴四邊形BA₁DC是等腰梯形，
∴梯形的高為2$\sqrt{2}$，
∴A₁B=4$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴S${\;}_{四邊形{A}_{1}CBD}$=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$）×2$\sqrt{2}$=8+4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，對(duì)折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，建立方程是解本題的關(guān)鍵．