Question

3．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，點P是反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$（x＞0）圖象上的一個動點，若以點P為圓心，3為半徑的圓與直線y=x相交，交點為A、B，當弦AB的長等于2$\sqrt{5}$時，點P的坐標為（　�。�

• A． （1，6）和（6，1）
• B． （2，3）和（3，2）
• C． （$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）和（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）和（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 當點P在直線y=x上方時，作PH⊥AB，利用垂徑定理可得AH=$\sqrt{5}$，由勾股定理易得PH，作PM⊥x軸交直線AB于點C，由PH可得CP，設OM=a，則CM=a，易得，P（a，a$+2\sqrt{2}$），因為P點在反比例函數(shù)圖象上，所以易得a（a$+2\sqrt{2}$）=6，可得a，易得P點的坐標，當點P在直線y=x下方時，利用對稱性可得P點的另一坐標．

解答 解：當點P在直線y=x上方時，連接PA，作PH⊥AB，
∴AH=$\sqrt{5}$，而PA=3
∴PH=2．
作PM⊥x軸交直線AB于點C，
設OM=a，則CM=a，而PC=2$\sqrt{2}$，∴P（a，a$+2\sqrt{2}$），
∴a（a$+2\sqrt{2}$）=6，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴P（$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），
當點P在直線y=x下方時，由對稱性可知P（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
故選C．

點評 本題主要考查了垂徑定理，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，作出恰當?shù)妮o助線，利用勾股定理和垂徑定理解得PC是解答此題的關鍵．