Question

13．通過配方，把下列函數(shù)化為y=a（x-h）²+k的形式，并指出函數(shù)的最大（或最�。┲担�
（1）y=-2x²-5x+9；（2）y=2x²+3x；
（3）y=$\frac{5}{2}$x²-4x+1；（4）y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{2}$x-2．

Answer 1

分析 利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，即可把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的最值．

解答 解：（1）y=-2x²-5x+9
y=-2（x²+$\frac{5}{2}$x）+9
y=-2（x²+$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{16}$-$\frac{25}{16}$）+9
y=-2（x+$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{8}$+9
y=-2（x+$\frac{5}{4}$）²+$\frac{97}{8}$；
∵a=-2＜0，
∴函數(shù)有最大值$\frac{97}{8}$；
（2）y=2x²+3x；
y=2（x²+$\frac{3}{2}$x）
y=2（x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{16}$-$\frac{9}{16}$）
y=2（x+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{9}{8}$；
∵a=2＞0，
∴函數(shù)有最小值-$\frac{9}{8}$；
（3）y=$\frac{5}{2}$x²-4x+1；
y=$\frac{5}{2}$（x²-$\frac{8}{5}$x）+1
y=$\frac{5}{2}$（x²-$\frac{8}{5}$x+$\frac{16}{25}$-$\frac{16}{25}$）+1
y=$\frac{5}{2}$（x-$\frac{4}{5}$）²-$\frac{3}{5}$；
∵a=$\frac{5}{2}$＞0，
∴函數(shù)有最小值-$\frac{3}{5}$；
（4）y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{2}$x-2，
y=-$\frac{3}{4}$（x²-6x+9-9）-2
y=-$\frac{3}{4}$（x-3）²+$\frac{27}{4}$-2
y=-$\frac{3}{4}$（x-3）²+$\frac{19}{4}$；
∵a=-$\frac{3}{4}$＜0，
∴函數(shù)有最大值$\frac{19}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點式：y=a（x-h）²+k；（3）交點式（與x軸）：y=a（x-x₁）（x-x₂）．