Question

1．我們知道當(dāng)人們的視線與物體的表面互相垂直且視線恰好落在物體中心位置時(shí)的視覺(jué)效果最佳，如圖是小然站咋地面MN欣賞懸掛在墻壁PM上的油畫(huà)AD（PM⊥MN）的示意圖，設(shè)油畫(huà)AD與墻壁的夾角∠PAD=α，此時(shí)小然的眼睛與油畫(huà)底部A處于同一水平線上，視線恰好落在油畫(huà)的中心位置E處，且與AD垂直．已知油畫(huà)的高度AD為100cm．
（1）直接寫(xiě)出視角∠ABD（用含α的式子表示）的度數(shù)；
（2）當(dāng)小然到墻壁PM的距離AB=250cm時(shí)，求油畫(huà)頂部點(diǎn)D到墻壁PM的距離；
（3）當(dāng)油畫(huà)底部A處位置不變，油畫(huà)AD與墻壁的夾角逐漸減小時(shí)，小然為了保證欣賞油畫(huà)的視覺(jué)效果最佳，他應(yīng)該更靠近墻壁PM，還是不動(dòng)或者遠(yuǎn)離墻壁PM？

Answer 1

分析 （1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=BD，則∠ABE=∠DBE，進(jìn)而得出答案；
（2）可根據(jù)sin∠CAD=$\frac{CD}{AD}$直接求出CD的值；利用△ACD∽△BEA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答；
（3）利用（1）可知視角變小，則需要遠(yuǎn)離墻壁．進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）連接BD，
∵∠CAD+∠BAD=90°，∠BAD+∠ABE=90°，
∴∠CAD=∠ABE，
∵AE=DE，BE⊥AD，
∴∠ABE=∠DBE，
∴∠ABD=2α；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥PM交PM于點(diǎn)C，
解法一：
在Rt△ACD中，
∵sin∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=sinα=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{50}{250}$=$\frac{1}{5}$，
∴CD=$\frac{1}{5}$AD=$\frac{1}{5}$×100=20（cm），

解法二：
∵∠CAD=∠ABE=α，
∠ACD=∠AEB=90°，
∴△ACD∽△BEA，
∴$\frac{CD}{AE}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{CD}{50}$=$\frac{100}{250}$，
∴CD=20（cm），
∴鏡框頂部到墻壁的距離CD是20cm；

（3）當(dāng)油畫(huà)底部A處位置不變，油畫(huà)AD與墻壁的夾角逐漸減小時(shí)，小然為了保證欣賞油畫(huà)的視覺(jué)效果最佳，
他應(yīng)該遠(yuǎn)離墻壁PM．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用以及視角問(wèn)題，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=BD是解題關(guān)鍵．