Question

10．已知直線y=$\frac{3}{4}$x+3分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B．
（1）求∠BAO的平分線的函數(shù)關(guān)系式；（寫出自變量x的取值范圍）
（2）點(diǎn)M在已知直線上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在以點(diǎn)M、N、A、O為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先作EF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)直線y=$\frac{3}{4}$x+3分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，分別求出A、B的坐標(biāo)，以及AB的長(zhǎng)度各是多少；然后設(shè)EF=EO=x，則BE=3-x，BF=1，再根據(jù)勾股定理，可得BE²=EF²+BF²，據(jù)此求出x的值是多少，即可確定出∠BAO的平分線的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）存在以點(diǎn)M、N、A、O為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．根據(jù)題意，分3種情況：①當(dāng)AN、OM是菱形ANMO的兩條對(duì)角線時(shí)；②當(dāng)AO、MN是菱形ANMO的兩條對(duì)角線時(shí)；③當(dāng)AM、ON是菱形ANMO的兩條對(duì)角線時(shí)；然后根據(jù)菱形的特征，分別求出點(diǎn)N的坐標(biāo)各是多少即可．

解答 解：（1）如圖1，

AE為∠BAO的平分線，交y軸于點(diǎn)E，作EF⊥AB于點(diǎn)F，
∵直線y=$\frac{3}{4}$x+3分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
設(shè)EF=EO=x，
則BE=3-x，BF=AB-AF=AB-AO=5-4=1，
∵BE²=EF²+BF²，
∴（3-x）²=x²+1²，
解得$x=\frac{4}{3}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，$\frac{4}{3}$），
設(shè)AE的函數(shù)關(guān)系式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$
∴∠BAO的平分線的函數(shù)關(guān)系式是y=$\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$（x≥-4）．

（2）存在以點(diǎn)M、N、A、O為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．
①如圖2，

∵四邊形OAMN為菱形，
∴ON∥AB，ON=AO=4，
∵AB所在的直線的解析式是y=$\frac{3}{4}$x+3，
∴ON所在的直線的解析式是y=$\frac{3}{4}$x，
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，$\frac{3}{4}m$），
則m²+（$\frac{3}{4}$m）²=4²，
解得m=±$\frac{16}{5}$，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{16}{5}，\frac{12}{5}$）或（-$\frac{16}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．

②如圖3，

當(dāng)AO是菱形ANOM其中的一條對(duì)角線時(shí)，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），
∴MN所在的直線的解析式是x=-2，
當(dāng)x=-2時(shí)，
$\frac{3}{4}×（-2）+3$=-$\frac{3}{2}$+3=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，-$\frac{3}{2}$）．

③如圖4，

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，n），
當(dāng)AM、ON是菱形ANMO的兩條對(duì)角線時(shí)，
∵AM⊥ON，
∴$\frac{n}{m}=-\frac{4}{3}$…（1），
∵ON的中點(diǎn)P在直線AB上，
∴$\frac{n}{2}=\frac{3}{4}×\frac{m}{2}+3$…（2），
由（1）（2），
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{72}{25}}\\{n=\frac{96}{25}}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為$（-\frac{72}{25}，\frac{96}{25}）$．
綜上，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為 $（\frac{16}{5}，\frac{12}{5}）$，$（-\frac{16}{5}，-\frac{12}{5}）$，$（-2，-\frac{3}{2}）$或$（-\frac{72}{25}，\frac{96}{25}）$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．
（2）此題還考查了菱形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等； ③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．