Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），且a，b滿足|a+b-4|+（2a+4）²=0．
（1）求OA，OB的長(zhǎng)度；
（2）若P從點(diǎn)B出發(fā)沿著射線BO方向（點(diǎn)P不與原點(diǎn)重合），速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連接AP，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△AOP的面積為S，請(qǐng)你用含t的式子表示S；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)S=4時(shí)，在一、三象限角平分線上是否存在一點(diǎn)M（點(diǎn)M不與原點(diǎn)重合），使得PM⊥AM？若存在，求M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)解方程組，可得a、b的值；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)互相垂直兩直線的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）由a，b滿足|a+b-4|+（2a+4）²=0，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b-4=0}\\{2a+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
OA=|a|=2，OB=|b|=6；
（2）如圖：

BP=2t，OP=OB-BP=b-2t=6-2t，OA=2，
S=$\frac{1}{2}$OP•OA=$\frac{1}{2}$×2×（6-2t）=6-2t；
（3）不存在M點(diǎn)使PM⊥AM，理由如下：
設(shè)M（a，a），假設(shè)PM⊥AM，
當(dāng)S=4時(shí)，2t=4，解得t=2，
P（0，2），A（-2，0）．
由PM⊥AM，得$\frac{a-2}{a}$•$\frac{a-0}{a+2}$=-1．
解得a=0，
即M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
∵M(jìn)點(diǎn)原點(diǎn)不重合，
∴M點(diǎn)不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了解方程得出a、b的值，三角形的面積公式，利用互相垂直兩直線的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵．