Question

13．已知直線y=-2x+2分別與x軸，y軸交于點C，B，并且與某一反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$在第二象限交于點A（-1，a），過點B作直線AC的垂線交x軸于點E，交另一雙曲線y=$\frac{n}{x}$于點D（b，-2）．
（1）求m，n的值；
（2）若點F在y軸上，并且以點B，D，F(xiàn)為頂點的三角形與△ACE相似，求出點F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標(biāo)代入直線AB解析式可求得a的值，代入反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$解析式可求得m的值；由BD⊥AC，可證得△BOE∽△COB，可求得OE的長，則可求得E點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得BD的解析式，則可求得D點坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)y=$\frac{n}{x}$解析式可求得n的值；
（2）設(shè)F（0，t），由（1）可知∠DBO=∠ACE，由相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{DB}{AC}$=$\frac{FB}{EC}$或$\frac{DB}{EC}$=$\frac{FB}{AC}$可得到t的方程，可求得t的值，可求得F點的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵點A在直線y=-2x+2上，
∴a=-2×（-1）+2=4，
∴A（-1，4），
∵點A在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴m=-1×4=-4；
在y=-2x+2中，令x=0可得y=2，令y=0可求得x=1，
∴B（0，2），C（1，0），
∴OB=2，OC=1，
∵BD⊥AC，
∴∠EBO+∠OBC=∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠EBO=∠BCO，且∠BOE=∠BOC=90°，
∴△BOE∽△COB，
∴$\frac{BO}{EO}$=$\frac{CO}{BO}$，即$\frac{2}{EO}$=$\frac{1}{2}$，解得EO=4，
∴E（-4，0），
可設(shè)直線BE解析式為y=kx+2，
∴0=-4k+2，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直線BE的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
∵點D在直線BE上，
∴-2=$\frac{1}{2}$b+2，解得b=-8，
∴D（-8，-2），
∵點D在反比例函數(shù)y=$\frac{n}{x}$上，
∴n=-8×（-2）=16；

（2）設(shè)F（0，t），
∵∠EBO=∠ACE，
∴點F在點B的下方，
∴BF=2-t，
∵A（-1，4），D（-8，-2），E（-4，0），C（1，0）
∴AC=$\sqrt{（-1-1）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，EC=1-（-4）=5，BD=$\sqrt{（-8）^{2}+（-2-2）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵△DFB和△ACE相似，
∴有$\frac{DB}{AC}$=$\frac{FB}{EC}$或$\frac{DB}{EC}$=$\frac{FB}{AC}$兩種情況，
①當(dāng)$\frac{DB}{AC}$=$\frac{FB}{EC}$時，則$\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2-t}{5}$，解得t=-8，此時F點坐標(biāo)為（0，-8）；
②當(dāng)$\frac{DB}{EC}$=$\frac{FB}{AC}$時，則$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2-t}{2\sqrt{5}}$，解得t=-6，此時F點坐標(biāo)為（0，-6）；
綜上可知F點的坐標(biāo)為（0，-8）或（0，-6）．

點評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中求得A、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中用F點的坐標(biāo)表示出BF的長，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．