Question

3．已知，如圖，△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，四邊形DEGF為正方形，其中D，E在邊AC，BC上，F(xiàn)，G在AB上，求正方形的邊長．
（1）若將題中正方形改為矩形，DE=2DF，則矩形的邊長為多少？（不需要計(jì)算結(jié)果，說說思路即可）
（2）若題中的三角形不是直角三角形，且AC=5，AB=11，BC=4$\sqrt{5}$，則正方形DEGF的邊長為多少？

Answer 1

分析 作CN⊥AB于N，由四邊形DEGF為正方形，可得CM⊥DE與求得AB、CN的值，還可證得△ABC∽△DEC，由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，即可求得正方形的邊長；（1）作CN⊥AB，交DE于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，根據(jù)DE∥AB，得到△CDE∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，進(jìn)而列出關(guān)于x的方程，求出方程的解，即可得到矩形的邊長；
（2）如圖1，作CN⊥AB，交GF于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，根據(jù)勾股定理列方程AC²-AN²=BC²-BN²，即25-AN²=80-（11-AN）²，求得AN=3，然后再由勾股定理得到CN=4，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖1，作CN⊥AB于N，
∵四邊形DEGF為正方形，
∴CM⊥DE，
由勾股定理可得：AB=5，
根據(jù)三角形的面積不變性可求得CH=$\frac{12}{5}$，
設(shè)DE=x，
∵DE∥AB，
∴△ABC∽△DEC，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{DE}{AB}$，
即　$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}=\frac{x}{5}$，
解得：x=$\frac{60}{37}$，
∴正方形的邊長為：$\frac{60}{37}$；

（1）在圖2中作CN⊥AB，交GF于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}=\frac{DE}{AB}$，
設(shè)DF為x，則 DE=2x，
∴$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}$=$\frac{2x}{5}$，
∴x=$\frac{60}{49}$；
∴矩形的邊長為：DF=$\frac{60}{49}$，DE=$\frac{120}{49}$；

（2）如圖1，作CN⊥AB，交DE于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，
∴AC²-AN²=BC²-BN²，
即25-AN²=80-（11-AN）²，
解得：AN=3，
∴CN=4，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}=\frac{DE}{AB}$，
設(shè)正方形邊長為x，
∴$\frac{4-x}{4}=\frac{x}{11}$，
解得：x=$\frac{44}{15}$，
∴正方形DEGF的邊長為$\frac{44}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查了正方形、矩形、相似三角形的性質(zhì)及勾股定理．要求學(xué)生掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比．