Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OBCD的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，且BE=CF，連結(jié)OE，BF，交點(diǎn)為G，將△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF，延長(zhǎng)FP交x軸于點(diǎn)Q．
（1）求證：OE⊥BF；
（2）若E為BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，n），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-m，0），請(qǐng)寫出關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△BEO≌△CFB，即可判斷出∠BEO=∠CFB，然后根據(jù)∠CFB+∠CBF=90°，可得∠BEO+∠CBF=90°，所以∠EGB=90°，所以O(shè)E⊥BF，據(jù)此判斷即可；
（2）首先根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)，可得BP⊥FP，CP⊥BF，據(jù)此求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)F的坐標(biāo)，確定出FP所在的直線的解析式；然后求出FP所在的直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是多少，即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）首先根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，n），BE=CF，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少；然后確定出FQ所在的直線的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少；最后根據(jù)DF∥QO，可得$\frac{DF}{QO}=\frac{DP}{OP}$，據(jù)此寫出關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式即可．

解答 解：（1）在△BEO和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠EBO=∠FCB}\\{BO=CB}\end{array}\right.$
∴△BEO≌△CFB，
∴∠BEO=∠CFB，
∵∠CFB+∠CBF=90°，
∴∠BEO+∠CBF=90°，
∴∠EGB=180°-90°=90°，
∴OE⊥BF．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，b），
∵E為BC的中點(diǎn)，BE=CF，
∴F為CD的中點(diǎn)，
∴C（2，2），F(xiàn)（1，2），
∵BP⊥FP，
∴$\frac{b-0}{a-2}×\frac{b-2}{a-1}=-1$，
整理，可得
（a-1）（a-2）+b（b-2）=0…①；
∵CP⊥BF，
∴$\frac{b-2}{a-2}×\frac{2-0}{1-2}=-1$，
整理，可得
a=2b-2…②；
把②代入①，可得
b=$\frac{6}{5}$，或b=2（舍去），
∴a=2×$\frac{6}{5}-2$=$\frac{2}{5}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{2}{5}，\frac{6}{5}$），
∴FP所在的直線的解析式是：
$\frac{x-1}{x-\frac{2}{5}}=\frac{y-2}{y-\frac{6}{5}}$，
令y=0，可得
$\frac{x-1}{x-\frac{2}{5}}=\frac{-2}{-\frac{6}{5}}$，
解得x=-$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（-$\frac{1}{2}$，0）．

（3）∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，n），BE=CF，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（2-n，2），
∴FQ所在的直線的解析式是：
$\frac{x-2}{x+m}=\frac{y-n}{y}$，
令x=0，解得y=$\frac{mn}{m+2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，$\frac{mn}{m+2}$），
∵DF∥QO，
∴$\frac{DF}{QO}=\frac{DP}{OP}$，
∴$\frac{2-n}{m}=\frac{2-\frac{mn}{m+2}}{\frac{mn}{m+2}}$，
整理，可得
n²-（m+2）n+2m+4=0．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力．
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握全等三角形的判定方法．
（3）此題還考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，以及直線的解析式的求法，還有兩條直線相互垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．