Question

9．如圖，在半徑為4的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D，E．若四邊形AOBC的面積為10，則△DOE的面積是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 連接AB，OC，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=4$\sqrt{2}$，由垂徑定理得到BD=DC，AE=CE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到DE∥AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，由△CDE∽△CAB，得到△CDE的面積，通過面積的和差即可求出結(jié)果．

解答 解：連接AB，OC，
∵∠AOB=90°，OA=OB=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD=DC，AE=CE，
∴DE∥AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△OAB}}$=${（\frac{DE}{AB}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∵S_△ABC=S_{四邊形AOBC}-S_△AOB=10-$\frac{1}{2}$×4×4=2，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$，
∵S_{四邊形OECD}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形AOBC}=5，
∴S_△ODE=S_{四邊形OECD}-S_△CDE=$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理，三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．