Question

1．拓展與探究：

（1）如圖①，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A₁處，直接寫出∠1+∠2與∠A之間的數(shù)量關(guān)系∠1+∠2=2∠A；
（2）如圖②，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度數(shù)；
（3）如圖③，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，BF、CG交于點(diǎn)H，把△ABC沿DE折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，試探究∠BHC與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可；
（2）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出∠IBC+∠ICB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，得出∠BIC的度數(shù)即可；
（3）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及垂線的性質(zhì)得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，進(jìn)而求出∠A=$\frac{1}{2}$（∠1+∠2），即可得出答案

解答 解：（1）∠1+∠2=2∠A；
理由：根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠ADE=$\frac{1}{2}$（180-∠1），∠AED=$\frac{1}{2}$（180-∠2），
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠A+$\frac{1}{2}$（180-∠1）+$\frac{1}{2}$（180-∠2）=180°，
整理得2∠A=∠1+∠2；
（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=130°，
∴∠A=65°．
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$×65°=122.5°；
（3）∠BHC=180°-$\frac{1}{2}$（∠1+∠2）．
理由：∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，∠FHG+∠A=180°，
∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A．
∴∠A=$\frac{1}{2}$（∠1+∠2）．
∴∠BHC=180°-$\frac{1}{2}$（∠1+∠2）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圖形的翻著變換的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，正確的利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．