Question

16．閱讀下列材料，解答問題：
定義：線段AD把等腰三角形ABC分成△ABD與△ACD（如圖1），如果△ABD與△ACD均為等腰三角形，那么線段AD叫做△ABC的完美分割線．
（1）如圖1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD為△ABC的完美分割線，且BD＜CD，則∠B=36°，∠ADC=72°；
（2）如圖2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE為△ABC的角平分線，求證：BE為△ABC的完美分割線；
（3）如圖3，已知△ABC是一等腰三角形紙片，AB=AC，AD是它的一條完美分割線，將△ABD沿直線AD折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)B₁處，AB₁交CD于點(diǎn)E．求證：DB₁=EC．

Answer 1

分析 （1）由AD為△ABC的完美分割線，推出△ACD是等腰三角形，△ABD∽△CBA，由此即可解決問題；
（2）根據(jù)完美分割線的定義只要證明①△ABE是等腰三角形，③△BCE∽△ACB即可；
（3）想辦法證明△AB₁D≌△ACE即可解決問題；

解答 解：（1）如圖1中，

∵AD為△ABC的完美分割線，
∴△ACD是等腰三角形，△ABD∽△CBA，
∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，
∴∠ADC=∠CAD=72°
故答案為36°，72°．

（2）證明：如圖2中，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∵BE為△ABC的角平分線，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴∠ABE=∠A，
∴AE=BE，
∵∠BEC=180°-∠C-∠CBE=72°，
∴∠BEC=∠C，
∴BE=BC，
∴△ABE、△BEC均為等腰三角形，
∴BE為△ABC的完美分割線．

（3）證明：如圖3中，

∵AD是△ABC的一條完美分割線，
∴AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠ADB+∠CDA=180°，
∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD，
∴∠CAD=2∠BAD，
∵∠BAD=∠B₁AD，
∴∠CAD=2∠B₁AD，
∵∠CAD=∠B₁AD+∠CAE，
∴∠B₁AD=∠CAE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠B₁，
∴∠B₁=∠C，
∵AB=AB₁，
∴AB₁=AC，
∴△AB₁D≌△ACE，
∴DB₁=CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．