Question

3．（1）如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，說明理由．
（2）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD時(shí)，EF=BE+DF成立嗎？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）如圖（1）中，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE′，只要證明△AFE≌△AFE′即可解決問題．
（2）如圖（2）中，將△ABE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ADE′位置連接E′F．只要證明△FAE≌△FAE′得EF=FE′，理由等量代換和圖形中相關(guān)線段的和差關(guān)系證得EF=BE+DF．

解答 （1）證明：如圖（1）中，在正方形ABCD中，∵AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE′，
∵∠ADF=∠ADE′=90°，
∴點(diǎn)F、D、E′共線，
∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AFE和△AFE′中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAE′}\\{AE=AE′}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFE′（SAS），
∴EF=FE′=DE′+DF=BE+DF．

（2）解：EF=BE+DF成立．理由如下：
如圖（2）中，因?yàn)锳B=AD，所以可以將△ABE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ADE′位置，連接E′F．
∵∠B+∠ADF=90°，∠B=∠E′DA，
∴∠E′DF=∠E′DA+′ADF=90°，
∵∠BAE+∠DAF=∠EAF，∠E′AD=∠BAE，
∴∠E′AF=∠EAF，
在△FAE和△FAE′中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAE′}\\{AE=AE′}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△FAE′（SAS），
EF=FE′=DE′+DF=BE+DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題．其中涉及到了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線，這個(gè)全等三角形，屬于中考�？碱}型．