Question

8．計(jì)算：$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+$\frac{{3}^{2}}{5×7}$+…+$\frac{5{0}^{2}}{99×101}$．

Answer 1

分析 先提取$\frac{1}{4}$，將原式變形，再依次將分子化為：2²=1×3+1，4²=3×5+1，6²=5×7=1…，拆項(xiàng)化分別化為1+$\frac{1}{1×3}$，1+$\frac{1}{3×5}$，1+$\frac{1}{5×7}$，…，同時(shí)$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），…，再代入化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果．

解答 解：$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+$\frac{{3}^{2}}{5×7}$+…+$\frac{5{0}^{2}}{99×101}$，
=$\frac{1}{4}$（$\frac{{2}^{2}}{1×3}$+$\frac{{4}^{2}}{3×5}$+$\frac{{6}^{2}}{5×7}$+…+$\frac{10{0}^{2}}{99×101}$），
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1×3+1}{1×3}$+$\frac{3×5+1}{3×5}$+$\frac{5×7+1}{5×7}$+…+$\frac{99×101+1}{99×101}$），
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{1×3}$+1+$\frac{1}{3×5}$+1+$\frac{1}{5×7}$+…+1+$\frac{1}{99×101}$），
=$\frac{1}{4}$[50+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）]，
=$\frac{1}{4}$[50+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{101}$）]，
=$\frac{1}{4}$（50+$\frac{1}{2}$×$\frac{100}{101}$），
=$\frac{25}{2}$+$\frac{25}{202}$，
=$\frac{2525}{202}$+$\frac{25}{202}$，
=$\frac{1275}{101}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，此題需要利用簡(jiǎn)便方法將原式變形得出結(jié)論，要明確幾個(gè)式子的關(guān)系：①2²=1×3+1，4²=3×5+1，6²=5×7=1…，②$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），…，$\frac{1}{99×101}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）抓住這些式子的特點(diǎn)，利用有理數(shù)法則，從而得出結(jié)果．