Question

18．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE為BC邊上的高，將△ABE沿AE所在直線翻折后得△AGE，那么△AGE與四邊形AECD重疊部分的面積是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)翻折得：△AEG≌△ABE，得AG=AB=2，且△ABE和△AGE是等腰直角三角形，再得△COG是等腰直角三角形，設(shè)OC=OG=x，則AO=2-x，CG=$\sqrt{2}$x，證明△ODA∽△OCG，得比例式求出x的值，分別求△AEG和△OCG的面積，并求其重疊部分的面積．

解答 解：∵在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，
∴AB=2，
∵∠B=45°，AE為BC邊上的高，
∴AE=$\sqrt{2}$，
由折疊得：△AEG為等腰直角三角形，AG=AB=2，
∴∠AGE=45°，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠D=∠B=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DCG=∠D=45°，
∴∠COG=90°，
∴△COG是等腰直角三角形，
∴${{S}_{△{AEG}}}=\frac{1}{2}{AE}•{EG}={1}$，
設(shè)OC=OG=x，則AO=2-x，CG=$\sqrt{2}$x，
∵AD∥CG，
∴△ODA∽△OCG，
得$\frac{AD}{CG}=\frac{AO}{GO}$，即$\frac{2}{{\sqrt{2}{x}}}=\frac{{{2}-{x}}}{x}$，
解得${x}={2}-\sqrt{2}$，
∴${{S}_{△{COG}}}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}=\frac{1}{2}{（{{2}-\sqrt{2}}）^{2}}{=3}-{2}\sqrt{2}$，
∴重疊部分的面積為${{S}_{△{AEG}}}-{{S}_{△{COG}}}={1}-（{{3}-{2}\sqrt{2}}）={2}\sqrt{2}-{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形面積和翻折變換問題，知道菱形的四邊相等、對(duì)角相等；明確翻折前后的兩個(gè)圖形全等，求陰影部分面積時(shí)，觀察圖形形狀，可以直接求解，也可以間接利用面積和或差來求．