Question

13．課上教師呈現(xiàn)一個問題：
已知：如圖1，AB∥CD，EF⊥AB于點O，F(xiàn)G交CD于點P，當(dāng)∠1=30°時，求∠EFG的度數(shù)．

甲、乙、丙三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線解決問題，如圖2．
（1）甲同學(xué)輔助線的做法為過點F作MN∥CD，請根據(jù)甲同學(xué)作輔助線的方法求∠EFG的度數(shù)；
（2）乙同學(xué)輔助線的做法為過P作PN∥EF；丙同學(xué)輔助線的做法為過O作ON∥FG；
（3）請你任選乙同學(xué)或丙同學(xué)所描述輔助線的一種做法，求∠EFG的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）過F作MN∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠EFG的度數(shù)；
（2）由圖可得，乙同學(xué)輔助線的做法為過P作PN∥EF；丙同學(xué)輔助線的做法為過O作ON∥FG；
（3）若選擇乙，過P作PN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠NPD的度數(shù)，再根據(jù)∠1的度數(shù)以及平行線的性質(zhì)，即可得到∠EFG的度數(shù)；若選擇丙，過O作ON∥FG，先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠BON的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠EFG的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖甲，過F作MN∥CD，
∵MN∥CD，∠1=30°，
∴∠2=∠1=30°，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN，
∵AB⊥EF，
∴∠3=∠4=90°，
∴∠EFG=∠3+∠2=90°+30°=120°．

（2）由圖可得，乙同學(xué)輔助線的做法為過P作PN∥EF；丙同學(xué)輔助線的做法為過O作ON∥FG；
故答案為：過P作PN∥EF；過O作ON∥FG；

（3）若選擇乙，理由如下：
如圖乙，過P作PN∥EF，
∵PN∥EF，EF⊥AB，
∴∠ONP=∠ENB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠NPD=∠ONP=90°，
又∵∠1=30°，
∴∠NPG=90°+30°=120°，
∵PN∥EF，
∴∠EFG=∠NPG=120°；

若選擇丙，理由如下：
如圖丙，過O作ON∥FG，
∵ON∥FG，∠1=30°，
∴∠PNO=∠1=30°，
∵AB∥CD，
∴∠BON=∠PNO=30°，
又∵EF⊥AB，
∴∠EON=∠EOB+∠BON=90°+30°=120°，
∵ON∥FG，
∴∠EFG=∠EON=120°．

點評 本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角或同位角，依據(jù)平行線的性質(zhì)進行計算求解．