Question

3．如圖，等邊△ABC的邊長為6，AO⊥BC于D，D為AO上一點(diǎn)，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．
（1）求證：點(diǎn)D在線段BE的垂直平分線上；
（2）求∠CBE的度數(shù)；
（3）求點(diǎn)C到直線BE的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，由等邊△ABC中，AO⊥BC，得到直線AO是BC邊的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．

解答 解：（1）如圖1證明：連結(jié)BD，
∵等邊△ABC中，AO⊥BC，
∴直線AO是BC邊的垂直平分線，
∴BD=DC，
∵△CDE是等邊三角形，即DE=DC，
∴DE=BD，∴點(diǎn)D在線段BE的垂直平分線上；

（2）∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD，
∵在等邊△ABC中，AO⊥BC，
∴AO是∠BAC的角平分線，即∠CAD=∠CBE=30°；

（3）如圖2過點(diǎn)C作CG⊥BE，交BE的延長線于G，
∴在△CBE中，∠CBE=30°，
∴CG=$\frac{1}{2}$CB=3．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．