Question

20．在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．
（1）如圖1，當點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=90度；
（2）如圖2，當點D在線段BC上移動，設∠BAC=α，∠BCE=β．
①求證：△ABD≌ACE．
②α，β之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由；
③當點D在直線BC上移動，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的結論．

Answer 1

分析 （1）問要求∠BCE的度數(shù)，可將它轉化成與已知角有關的聯(lián)系，根據(jù)已知條件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形中對應角相等，最后根據(jù)直角三角形的性質可得出結論；
（2）①根據(jù)已知條件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE即可；
②問要求∠BCE的度數(shù)，可將它轉化成與已知角有關的聯(lián)系，根據(jù)已知條件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形中對應角相等，最后根據(jù)直角三角形的性質可得出結論；
③問在第①問的基礎上，進行分析解答即可．

解答 解：（1）90°．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°；
故答案為：90．
（2）①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC\\;}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°，
∴α+β=180°；
③當點D在射線BC的反向延長線上時，α=β．
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β．

點評 本題考查的是等腰三角形的性質，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性質；兩者綜合運用，促進角與角相互轉換，將未知角轉化為已知角是關鍵．