Question

10．如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB交弧BC于點D，連結(jié)CD、OD，給出以下四個結(jié)論：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④CD²=CE•CO．其中正確結(jié)論的序號是①④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可；
②由①得OE：EC=OD：AC，再由OD≠AC，可得CE≠OE；
③兩三角形中，只有一個公共角的度數(shù)相等，其它兩角不相等，所以不能證明△ODE∽△ADO；
④根據(jù)同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，求出∠COD=45°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠CDE=45°，再求證△CED∽△CDO，利用其對應(yīng)變成比例即可得出結(jié)論．

解答 解：∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，故①正確．
由題意得，OD=R，AC=$\sqrt{2}$R，
∵OE：CE=OD：AC=$\sqrt{2}$：2，
∴OE≠CE，故②錯誤；
∵∠OED=∠AOE+∠OAE=90°+22.5°=112.5°，∠AOD=90°+45°=135°，
∴∠OED≠∠AOD，
∴△ODE與△ADO不相似，故③錯誤；
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已證），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴$\frac{CD}{CO}$=$\frac{CE}{CD}$，
∴CD²=CO•CE，故④正確．
綜上可得①④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點的靈活運用，此題步驟繁瑣，但相對而言，難易程度適中，很適合學(xué)生的訓(xùn)練是一道典型的題目．