Question

19．如圖，在Rr△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點D、E分別是AC，BC的中點，點F是AD上一點，將△CEF沿EF折疊得△C′EF，C′F交BC于點G．當△CFG與△ABC相似時，CF的長為4或2.8．

Answer 1

分析 ①當FG⊥BC時，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠C′=∠C，C′E=CE=2，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到$\frac{AB}{AC}=\frac{EG}{C′E}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
②當GF⊥AC時，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠1=∠2=45°，于是得到HF=HE，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到EH=2×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$，根據(jù)勾股定理得到C′H=$\sqrt{C′{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：①當FG⊥BC時，
∵將△CEF沿EF折疊得△C′EF，
∴∠C′=∠C，C′E=CE=2，
∴sin∠C=sin∠C′，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{EG}{C′E}$，
∴EG=1.2，
∵FG∥AB，
∴$\frac{CG}{BC}=\frac{CF}{AC}$，即$\frac{3.2}{4}=\frac{CF}{5}$，
∴CF=4；
②當GF⊥AC時，如圖，
∵將△CEF沿EF折疊得△C′EF，
∴∠1=∠2=45°，
∴HF=HE，
∵sin∠C=sin∠C′=$\frac{EH}{C′E}$=$\frac{AB}{AC}$
，∴EH=2×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴C′H=$\sqrt{C′{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，
∴CF=C′F=C′H+HF=1.6+1.2=2.8．
綜上所述，當△CFG與△ABC相似時，CF的長為4或2.8．
故答案為：4或2.8．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．