Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為4的正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，連接CD，過(guò)D作DE⊥CD，且DE=CD，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的拋物線剛好經(jīng)過(guò)E點(diǎn)，P為射線CB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F．
（1）求E點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．則當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P，F(xiàn)，D為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似？
（3）點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在直線PF上，且滿(mǎn)足以點(diǎn)D，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于G點(diǎn)．先證明△ODC≌△GED，從而得到∴EG=OD=2，DG=OC=4，故此可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²，最后將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值；
（2）①當(dāng)△DFP∽△COD，則∠PDF=∠DCO，依據(jù)平行線的判定定理可知PD∥OC，然后可證明四邊形PDOC是矩形，則PC=OD=2，故此可求得t的值；②當(dāng)△PFD∽△COD，可證明∠PCF=∠PDF，則PC=PD．設(shè)P（t，4），則CP=t，DP=$\sqrt{（t-2）^{2}+{4}^{2}}$，然后由PC=PD列方程求解即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的左側(cè)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），依據(jù)平分四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得y=2，x=t-4，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)時(shí)，同理可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于G點(diǎn)．

∵四邊形OABC是邊長(zhǎng)為4的正方形，D是OA的中點(diǎn)，
∴OA=OC=4，OD=2，∠AOC=∠DGE=90°．
∵∠CDE=90°，
∴∠ODC+∠GDE=90°．
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠GDE．
在△OCD和△GED中$\left\{\begin{array}{l}{∠COD=∠DGE}\\{∠OCD=∠GDE}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ODC≌△GED   （AAS），
∴EG=OD=2，DG=OC=4．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，2）．
∵點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²，
將E點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得2=a（6-2）²，
解得a=$\frac{1}{8}$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{8}$（x-2）²；

（2）①若△DFP∽△COD，則∠PDF=∠DCO，
∴PD∥OC，
∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，
∴四邊形PDOC是矩形，
∴PC=OD=2，
∴t=2；
②當(dāng)△PFD∽△COD，則∠DPF=∠DCO，．
∴∠PCF=90°-∠DCO=90°-∠DPF=∠PDF．
∴PC=PD．
設(shè)P（t，4），則CP=t，DP=$\sqrt{（t-2）^{2}+{4}^{2}}$．
∴t²=（t-2）²+16，解得t=5．
綜上所述：t=2或t=5時(shí)，以點(diǎn)P，F(xiàn)，D為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似；

（3）如圖2所示：

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y）．
∵四邊形DEPQ為平行四邊形，
∴PD與QE相互平分．
∴依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：$\frac{6+x}{2}$=$\frac{t+2}{2}$，$\frac{2+y}{2}=\frac{0+4}{2}$．
∴y=2，x=t-4．
將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\frac{1}{8}$（t-6）²=2，解得：t=2或t=10（舍去）．
∴x=-2，y=2，．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，2）．
如圖3所示：

∵PE和DQ為平行四邊形的對(duì)角線，
∴PE與QD互相平分．
∴$\frac{x+2}{2}$=$\frac{t+6}{2}$，$\frac{y+0}{2}$=$\frac{4+2}{2}$．
∴y=6，x=t+4．
將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\frac{1}{8}$（t+2）²=6，解得：t=4$\sqrt{3}$-2或t=-4$\sqrt{3}$-2（舍去）．
∴x=4$\sqrt{3}$+2．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4$\sqrt{3}$+2，6）．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，2）或（4$\sqrt{3}$+2，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)E的坐標(biāo)是解答問(wèn)題（1）的關(guān)鍵；分類(lèi)討論是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵；依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含t的式子表示）是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．