Question

5．如圖，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D為AB的中點，以下判斷正確的個數(shù)有（　�。�
①DE=AC；②DE⊥AC；③∠EAF=∠ADE；④∠CAB=30°．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)點D是AB的中點，得到AD=$\frac{AB}{2}$，由于AB=2BC，于是得到AD=BC，證得Rt△AED≌Rt△BAC，得到∠E=∠CAB，DE=AC，故①正確；由∠E+∠EDA=90°，得到∠FAD+∠EDA=90°，即可得到DE⊥AC，故②正確；根據(jù)同角的余角相等得到∠EAF=∠ADE，故③正確；根據(jù)BC是AB的一半，而不是AC的一半，故∠CAB不等于30°，故④錯誤．

解答 解：點D是AB的中點，則AD=$\frac{AB}{2}$，
∵AB=2BC，
∴AD=BC，
∵EA⊥AB，CB⊥AB，
∴∠B=∠EAB=90°，
在△AED與△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠DAE=∠CBA}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BAC，
∴∠E=∠CAB，DE=AC，
∴①正確；
∵∠E+∠EDA=90°，
∴∠FAD+∠EDA=90°，
∴∠AFD=180°-（∠FAD+∠EDA）=90°，
∴DE⊥AC，
∴②正確；
∵∠EAF與∠ADE都是∠E的余角，
∴∠EAF=∠ADE，
∴③正確；
∵BC是AB的一半，而不是AC的一半，故∠CAB不等于30°，
∴④錯誤；
故選C．

點評 本題考查了：①全等三角形的判定和性質；②三角形內角和定理；③直角三角形的性質，熟記這些定理是解題的關鍵．