Question

20．如圖，已知△ABC（AB＞AC），在∠BAC內(nèi)部的點P到∠BAC兩邊的距離相等，且PB=PC．
（1）利用尺規(guī)作圖，確定符合條件的P點（保留作圖痕跡，不必寫出作法）；
（2）過點P作AC的垂線，垂足D在AC延長線上，求證：AB-AC=2CD；
（3）當(dāng)∠BAC=90°時，判斷△PBC的形狀，并證明你的結(jié)論；
（4）當(dāng)∠BAC=90°時，設(shè)BP=m，AP=n，直接寫出△ABC的周長和面積（用含m、n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）作∠BAC的平分線和線段BC的垂直平分線，兩線交于點P，則點P即為所求；
（2）如圖2，作PE⊥AB于點E，聯(lián)結(jié)PB、PC，由點P在∠BAC的平分線上，得到PD=PE，證得Rt△PEB≌Rt△PDC，得到BE=CD，推出Rt△AEP≌Rt△ADP，得到AE=AD，由于AE=AB-BE，AD=AC+CD，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（4）由（3）證得△BPC是等腰直角三角形，推出△AEP是等腰直角三角形，求得AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP，即AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$n，由于AE=AD，BE=CD，于是得到AB+AC=AE+AD=$\sqrt{2}$n，求得△ABC的周長=$\sqrt{2}$（m+n），根據(jù)Rt△PEB≌Rt△PDC，得到S_△ABC=S_{四邊形ABPC}-S_△BPC=$\frac{1}{2}$n²=$\frac{1}{2}$m²．

解答 解：（1）如圖1所示，點P即為所求作的點；

（2）如圖2，作PE⊥AB于點E，聯(lián)結(jié)PB、PC，
∵點P在∠BAC的平分線上，
∴PD=PE，
在Rt△PEB和Rt△PDC中，
$\left\{{\begin{array}{l}{PE=PD}\\{PB=PC}\end{array}}\right.$，
∴Rt△PEB≌Rt△PDC，
∴BE=CD，
在Rt△AEP和Rt△ADP中，
$\left\{{\begin{array}{l}{PE=PD}\\{AP=AP}\end{array}}\right.$，
∴Rt△AEP≌Rt△ADP，
∴AE=AD，
∵AE=AB-BE，AD=AC+CD，
∴AB-BE=AC+CD，
又∵BE=CD，
∴AB-AC=2CD；

（3）∵∠BAC=90°，
∴∠EAP=∠PAC=45°，
在Rt△AEP中，∠EAP+∠EPA=90°，
∴∠EPA=45°，
同理∠APD=45°，
∴∠EPD=90°=∠EPC+∠CPD，
由（2）知Rt△PEB≌Rt△PDC，
∴∠BPE=∠CPD，
∴∠BPE+∠EPC=90°，即∠BPC=90°，
又∵BP=PC，
∴△BPC是等腰直角三角形；

（4）由（3）證得△BPC是等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$PB，
∵PB=m，
∴BC=$\sqrt{2}$m，
∵AP平分∠BAC，∠CAB=90°，
∴∠EAP=45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP，
∵AP=n，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$n，
∵AE=AD，BE=CD，
∴AB+AC=AE+AD=$\sqrt{2}$n，
∴△ABC的周長=$\sqrt{2}$（m+n），
∵Rt△PEB≌Rt△PDC，
∴S_{四邊形ABPC}=S_{四邊形AEPD}=AE²=$\frac{1}{2}$n²，
∵S_△ABC=S_{四邊形ABPC}-S_△BPC=$\frac{1}{2}$n²=$\frac{1}{2}$m²．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，基本作圖，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．