Question

1．如圖，將△OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（2，4），點B（6，0）在邊OB上有一動點P，過P作PC∥OA交AB于C，連接AP．
（Ⅰ）求△OAB的面積；
（Ⅱ）若設(shè)OP=x，△APC的面積為y，試用含x的式子表示y；
（Ⅲ）若有滿足S_△APC=$\frac{1}{m}$S_△OAB的點P存在，求當(dāng)m取得最小值時，點P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析 （1）先確定出AD和OB的長，最后用三角形的面積公式即可；
（2）先設(shè)出C的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出BC，再用相似三角形的性質(zhì)即可得出CE，最后用三角形的面積的差即可得出結(jié)論；
（3）借助（1）（2）得出結(jié)論，先確定出y的最大值，即可判斷出m的最小值，進(jìn)而求出點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，過點A作AD⊥x軸于D，
∵A（2，4），
∴AD=4，
∵B（6，0），
∴OB=6，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OB×AD=$\frac{1}{2}$×6×4=12，

（2）如圖2，過點A作AD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸，
∵A（2，4），B（6，0），
∴直線AB的解析式為y=-x+6，
設(shè)C（a，-a+6）（0＜a＜6），
在Rt△ABD中，AD=4，BD=OB-OD=6-2=4，
∴tan∠OBA=$\frac{AD}{BD}$=1，
在Rt△BCE中，tan∠OBA=$\frac{CE}{BE}$=1，
∴BE=CE=-a+6，
∴BC=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$（-a+6），
∵A（2，4），B（6，0），
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∵PC∥OA，
∴△BPC∽△BOA，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BP}{OB}$，
∵OP=x，OB=6，
∴BP=6-x，
∴$\frac{\sqrt{2}（-a+6）}{4\sqrt{2}}=\frac{6-x}{6}$，
∴a=2+$\frac{2}{3}$x，
∴CE=-a+6=-2-$\frac{2}{3}$x+6=4-$\frac{2}{3}$x，
∴y=S_△ACP=S_△OAB-S_△OAP-S_△BPC=12-$\frac{1}{2}$x×4-$\frac{1}{2}$（6-x）×（4-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{1}{3}$x²+2x（0＜x＜6），

（3）由（2）知，S_△ACP=y=-$\frac{1}{3}$x²+2x=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+3，
當(dāng)x=3時，y最大=3
由（1）知，S_△AOB=12，
∵S_△APC=$\frac{1}{m}$S_△OAB，
∴$\frac{12}{m}$的最大值為3，
∴m的最小值為4，
∴m最小時，P（3，0）．

點評 此題是三角形的綜合題，主要考查了三角形的面積公式，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是確定出△PBC的邊BP上的高，是一道基礎(chǔ)題目．