Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于點(diǎn)E，連接BE，且AE⊥BE，求證：AB=AD+BC．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=EF，然后利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△AFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED=∠AEF，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=AF，再根據(jù)等角的余角相等求出∠BEC=∠BEF，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代換即可得證．

解答：證明：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，
∵AE平分∠BAD，
∴DE=EF，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，

AE=AE DE=EF

，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴∠AED=∠AEF，AD=AF，
∵AE⊥BE，
∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠BEF，
又∵EF⊥AB，CE⊥BC，
∴BC=BF，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．