Question

14．已知，如圖△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G，有如下四個結論：①BF=AC；②CE=$\frac{1}{2}$BF；③CE＞BG；④DG=DF；⑤連接DE，則∠DEB=45°，其中正確的有（　�。�

• A． 2個
• B． 3個
• C． 4個
• D． 5個

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質得到BD=CD，根據(jù)全等三角形的性質即可得到BF=AC，故①正確；根據(jù)全等三角形的性質得到AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，等量代換得到BF=2CE，故②正確；作△DFB的中線DM，根據(jù)直角三角形的性質得到BM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AC=CE，等量代換得到CE＞BG，故③錯誤；根據(jù)三角形外角的性質得到∠DFG=90°-22.5°=67.5°；故④正確；推出C，B，D，E四點共圓，于是得到∠DEB=∠CDB=45°，故⑤正確．

解答 解：∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，
∴△BCD是等腰直角三角形，H是BC邊的中點，
∴BD=CD，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF與△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠ACD}\\{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDA}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC，故①正確；
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴在△ABE與△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BF=2CE，故②正確；
作△DFB的中線DM，
∴BM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AC=CE，
∴BM=CE＜BG，
∴CE＞BG，故③錯誤；
∵∠DBG=$\frac{1}{2}∠$ABC=22.5°，∠BDG=45°，
∴∠DGF=67.5°，
∴∠DFG=90°-22.5°=67.5°；故④正確；
∵∠CEB=∠CDB=90°，∴C，B，D，E四點共圓，
∴∠DEB=∠CDB=45°，故⑤正確．
故選C．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．