Question

6．已知函數y=（m-1）x${\;}^{{m}^{2}-3m+2}$+mx+1是關于x的二次函數．
（1）m為何值時，二次函數有最大值，最大值是多少？當x為何值時，y隨x的增大而減��？
（2）m為何值時，二次函數的圖象不經過第四象限？并求該拋物線的頂點坐標，當x為何值時．y隨x的增大而增大？

Answer 1

分析 由次函數的定義可求得m的值，（1）當二次函數有最大值時，可知其開口向下，可求得相應的m的值，再根據其解析式可求得其最大值，利用增減性可求得答案；（2）由圖象不經過第四象限可知其開口向上，可示得m的值，代入可求得其頂點坐標，再根據增減性可求得答案．

解答 解：
∵y=（m-1）x${\;}^{{m}^{2}-3m+2}$+mx+1是關于x的二次函數，
∴m²-3m+2=2，解得m=0或m=3，
（1）當二次函數有最大值時，則拋物線開口向下，
∴m=0，
∴拋物線解析式為y=-x²+1，
∴函數最大值為1，對稱軸為y軸，
∴當x＞0時，y隨x的增大而減小；
（2）當二次函數的圖象不經過第四象限時，則拋物線開口向上，
∴m=3，
∴y=2x²+3x+1=2（x+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
∴拋物線頂點坐標為（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{1}{8}$），對稱軸為x=-$\frac{3}{4}$，
∴當x＞-$\frac{3}{4}$時，y隨x的增大而增大．

點評 本題主要考查二次函數的性質，由二次函數的定義求得m的值是解題的關鍵．