Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，垂足為點(diǎn)B，連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)D、E，連接AD并延長交BC于點(diǎn)F．
（1）試判斷∠CBD與∠CEB是否相等，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{BC}$；
（3）若$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{2}$，求tan∠E的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠BAD=∠CEB，即可推出∠CBD與∠CEB相等；
（2）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，通過求證△EBC∽△BDC，即可推出結(jié)論；
（3）通過設(shè)AB=2a，則BC=3a，根據(jù)題意，推出OC的長度，然后通過正確函數(shù)的定義求得正切值即可．

解答 解：（1）∠CBD與∠CEB相等．
證明：∵BC⊥AB，∠CBD與∠2互余，∠CEB=∠EBO與∠2互余，
∴∠CBD=∠CEB；

（2）由（1）∠CBD=∠CEB，∠C是公共角，
∴△BCE∽△DCB，
∴對應(yīng)邊成比例：$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$；

（3）∵在Rt△DEB中tan∠E=$\frac{BD}{BE}$，且由（2）$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$，
∵BC=$\frac{3}{2}$AB，可設(shè)AB=2a，則BC=3a，而CD=OC-OD，
∴在Rt△OBC中根據(jù)勾股定理，OC=$\sqrt{{a^2}+{{（3a）}^2}}$=$\sqrt{10}a$，
∴CD=$\sqrt{10}a$-a，
∴得tan∠E=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{{\sqrt{10}-1}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)定義等知識點(diǎn)，關(guān)鍵在于：（1）熟練運(yùn)用圓周角定理，切線的性質(zhì)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件推出△EBC∽△BDC；