Question

3．已知：如圖，AB∥CD．

（1）如圖1，猜想并寫(xiě)出∠B、∠D、∠E之間的數(shù)量關(guān)系，圖2、圖3、圖4是三種不同角度思考采用的不同添加輔助線的方式，請(qǐng)你選擇其中的兩種方式說(shuō)明理由．
（2）在圖4中，如果BE、DE分別平分∠ABD、∠CDB，則∠E的度數(shù)是多少？（直接寫(xiě)出答案）
（3）根據(jù)以上推理，直接寫(xiě)出圖5、圖6、圖7中的∠B、∠D、∠E之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①過(guò)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出即可；②連接BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出即可；③延長(zhǎng)BE交CD于Q，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABD+∠CDB=180°，求出∠EBD+∠EDB=90°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出即可；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和圖形得出即可．

解答 解：（1）∠B+∠D=∠E，
理由是：如圖1：

過(guò)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠BED；

∠B+∠D=∠E，
理由是：如圖2，連接BD，

∵AB∥CD，
∴∠ABD+○EBD+∠CDE+∠BDE=180°，
∵∠BED+∠EBD+∠BDE=180°，
∴∠ABE+∠CDE=∠BED；

∠B+∠D=∠E，
理由是：如圖3，延長(zhǎng)BE交CD于Q，

∵AB∥CD，
∴∠B=∠BQD，
∵∠BQD+∠D=∠BED，
∴∠B+∠D=∠BED；

（2）∠BED=90°，
理由是：如圖4：

∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵BE、DE分別平分∠ABD、∠CDB，
∴∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠BDE=$\frac{1}{2}$∠CDB，
∴∠EBD+∠DBE=90°，
∴∠BED=180°-90°=90°；

（3）圖5中∠B+∠E+∠D=360°；圖6中∠B+∠E=∠D；圖7中∠B+∠D+∠E=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，難度適中．