Question

13．如圖，一艘貨船以每小時(shí)48海里的速度從港口B出發(fā)，沿正北方向航行．在港口B處時(shí)，測得燈塔A處在B處的北偏西37°方向上，航行至C處，測得A處在C處的北偏西53°方向上，且A、C之間的距離是45海里．在貨船航行的過程中，求貨船與燈塔A之間的最短距離及B、C之間的距離；若貨船從港口B出發(fā)2小時(shí)后到達(dá)D，求A、D之間的距離．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈$\frac{4}{5}$，cos53°≈$\frac{3}{5}$，tan53°≈$\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AO⊥BC，垂足為O．先解Rt△ACO中，求出CO=AC•cos53°≈45×$\frac{3}{5}$=27，AO=AC•sin53°≈45×$\frac{4}{5}$=36．再解Rt△ABO，得到∠OAB=90°-37°=53°，BO=AO•tan53°≈36×$\frac{4}{3}$=48，那么BC=BO-CO=48-27=21海里；
（2）先根據(jù)路程=速度×?xí)r間求得BD=48×2=96，那么OD=BD-BO=96-48=48．然后在Rt△AOD中利用勾股定理求出AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{3{6}^{2}+4{8}^{2}}$=60海里．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AO⊥BC，垂足為O．
在Rt△ACO中，∵AC=45，∠ACO=53°，
∴CO=AC•cos53°≈45×$\frac{3}{5}$=27，
AO=AC•sin53°≈45×$\frac{4}{5}$=36．
在Rt△ABO中，∵AO=36，∠OAB=90°-37°=53°，
∴BO=AO•tan53°≈36×$\frac{4}{3}$=48，
∴BC=BO-CO=48-27=21，
∴貨船與燈塔A之間的最短距離是36海里，B、C之間的距離是21海里．
（2）∵BD=48×2=96，
∴OD=BD-BO=96-48=48．
在Rt△AOD中，∵∠AOD=90°，
∴AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{3{6}^{2}+4{8}^{2}}$=60，
∴A、D之間的距離是60海里．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，銳角三角函數(shù)，勾股定理．作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．