Question

18．如圖，已知拋物線y=x²-2x-3經(jīng)過x軸上的A，B兩點，與y軸交于點C，線段BC與拋物線的對稱軸相交于點D，點E為y軸上的一個動點．
 （1）求直線BC的函數(shù)解析式，并求出點D的坐標；
（2）設(shè)點E的縱坐標為為m，在點E的運動過程中，當△BDE中為鈍角三角形時，求m的取值范圍；
（3）如圖2，連結(jié)DE，將射線DE繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，與拋物線交點為G，連結(jié)EG，DG得到Rt△GED．在點E的運動過程中，是否存在這樣的Rt△GED，使得兩直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時點G的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出A（-1，0），B（3，0），利用對稱性可得拋物線的對稱軸為直線x=1，再求出C（0，-3），然后利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式；當x=1時，y=-x+3=-3，則D點坐標為（1，-2）；
（2）如圖1，先判斷△OBC為等腰直角三角形，則∠OCB=∠OBC=45°，再計算出CD=$\sqrt{2}$，然后通過求出△BDE為直角三角形時m的值來確定△BDE為鈍角三角形時，m的取值范圍；
（3）分類討論：①當點G在對稱軸右側(cè)的拋物線上時，如圖2，作DF⊥y軸于F，GH⊥DF于H，設(shè)G（t，t²-2t-3），則GH=t²-2t-3-（-2）=t²-2t-1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EDG=90°，接著證明Rt△EDF∽Rt△DGH，利用相似的性質(zhì)得$\frac{DF}{GH}$=$\frac{DE}{DG}$，若$\frac{DE}{DG}$=2，則$\frac{1}{GH}$=2，則t²-2t-1=$\frac{1}{2}$，解得t₁=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$（舍去），t₂=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，此時G點坐標為（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；若$\frac{DE}{DG}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{1}{GH}$=$\frac{1}{2}$，則t²-2t-1=2，解得t₁=-1（舍去），t₂=3，此時G點坐標為（3，0）；②當點G在對稱軸左側(cè)的拋物線上時，用同樣的方法可得G點坐標為（1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-1，0）．

解答 解：（1）當y=0時，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0），B（3，0）
所以拋物線的對稱軸為直線x=1，
當x=0時，y=x²-2x-3=-3，則C（0，-3），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為y=x-3；
當x=1時，y=-x+3=-3，則D點坐標為（1，-2）；
（2）如圖1，∵B（3，0），C（0，-3）
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵D（1，-2），
∴CD=$\sqrt{{1}^{2}+（-2+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
當∠EDB=90°時，則△CDE為等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∴OE=3-2=1，此時E（0，-1），
∴當m＜-1且m≠-3時，∠EDB為鈍角，△EDB為鈍角三角形；
當∠EBD=90°時，則△OBE為等腰直角三角形，
∴OE=OB=3，此時E（0，3），
∴當m＞3時，∠EDB為鈍角，△EDB為鈍角三角形；
∴m的取值范圍為m＞3或m＜-1且m≠-3；
（3）存在．
①當點G在對稱軸右側(cè)的拋物線上時，如圖2，作DF⊥y軸于F，GH⊥DF于H，
設(shè)G（t，t²-2t-3），則GH=t²-2t-3-（-2）=t²-2t-1，
∵射線DE繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，與拋物線交點為G，
∴∠EDG=90°，
∴∠EDF+∠GDH=90°，
而∠EDF+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠GDH，
∴Rt△EDF∽Rt△DGH，
∴$\frac{DF}{GH}$=$\frac{DE}{DG}$，
若$\frac{DE}{DG}$=2，則$\frac{1}{GH}$=2，即t²-2t-1=$\frac{1}{2}$，解得t₁=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$（舍去），t₂=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，此時G點坐標為（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；
若$\frac{DE}{DG}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{1}{GH}$=$\frac{1}{2}$，即t²-2t-1=2，解得t₁=-1（舍去），t₂=3，此時G點坐標為（3，0）；
②當點G在對稱軸左側(cè)的拋物線上時，用同樣的方法可得G點坐標為（1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-1，0），
綜上所述，G點坐標為（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（3，0）或（1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-1，0）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求直線解析式；會運用相似比計算線段的長．難點是如何構(gòu)建相似三角形和分類討論思想的運用．