Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y=kx+b與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD=4AC．
（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的一點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為$\frac{5}{4}$，求a的值；
（3）設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）與x軸交于兩點(diǎn)A、B，求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，作DF⊥x軸于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法法即可求得直線l的函數(shù)表達(dá)式．
（2）設(shè)點(diǎn)E（m，a（m+1）（m-3）），y_AE=k₁x+b₁，利用待定系數(shù)法確定y_AE=a（m-3）x+a（m-3），從而確定S_△ACE=$\frac{1}{2}$（m+1）[a（m-3）-a]=$\frac{a}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$a，根據(jù)最值確定a的值即可；
（3）分以AD為對角線、以AC為邊，AP為對角線、以AC為邊，AQ為對角線三種情況利用矩形的性質(zhì)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）令y=0，則ax²-2ax-3a=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（-1，0），
如圖1，作DF⊥x軸于F，
∴DF∥OC，
∴$\frac{OF}{OA}$=$\frac{CD}{AC}$，
∵CD=4AC，
∴$\frac{OF}{OA}$=$\frac{CD}{AC}$=4，
∵OA=1，
∴OF=4，
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
代入y=ax²-2ax-3a得，y=5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐標(biāo)代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{4k+b=5a}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=a}\\{b=a}\end{array}\right.$，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+a．

（2）如圖1，過點(diǎn)E作EN⊥y軸于點(diǎn)N
設(shè)點(diǎn)E（m，a（m+1）（m-3）），y_AE=k₁x+b₁，
則$\left\{\begin{array}{l}{a（m+1）（m-3）=m{k}_{1}+_{1}}\\{0=-{k}_{1}+_{1}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=a（m-3）}\\{_{1}=a（m-3）}\end{array}\right.$，
∴y_AE=a（m-3）x+a（m-3），M（0，a（m-3））
∵M(jìn)C=a（m-3）-a，NE=m
∴S_△ACE=S_△ACM+S_△CEM=$\frac{1}{2}$[a（m-3）-a]+$\frac{1}{2}$[a（m-3）-a]m=$\frac{1}{2}$（m+1）[a（m-3）-a]=$\frac{a}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$a，
∴有最大值-$\frac{25}{8}$a=$\frac{5}{4}$，
∴a=-$\frac{2}{5}$；

（3）令ax²-2ax-3a=ax+a，即ax²-3ax-4a=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴D（4，5a），
∵y=ax²-2ax-3a，
∴拋物線的對稱軸為x=1，
設(shè)P₁（1，m），
①若AD是矩形的一條邊，
由AQ∥DP知x_D-x_P=x_A-x_Q，可知Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4，將x=-4帶入拋物線方程得Q（-4，21a），
m=y_D+y_Q=21a+5a=26a，則P（1，26a），
∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP=90°，
∴AD²+PD²=AP²，
∵AD²=[4-（-1）]²+（5a）²=5²+（5a）²，
PD²=[4-（-1）]²+（5a）²=5²+（5a）²，
∴[4-（-1）]²+（5a）²+（1-4）²+（26a-5a）²=（-1-1）²+（26a）²，
即a²=$\frac{1}{7}$，∵a＜0，∴a=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴P₁（1，-$\frac{26\sqrt{7}}{7}$）．

②若AD是矩形的一條對角線，
則線段AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5a}{2}$），Q（2，-3a），
m=5a-（-3a）=8a，則P（1，8a），
∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠APD=90°，
∴AP²+PD²=AD²，
∵AP²=[1-（-1）]²+（8a）²=2²+（8a）²，
PD²=（4-1）²+（8a-5a）²=3²+（3a）²，
AD²=[4-（-1）]²+（5a）²=5²+（5a）²，
∴2²+（8a）²+3²+（3a）²=5²+（5a）²，
解得a²=$\frac{1}{4}$，∵a＜0，∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴P₂（1，-4）．
綜上可得，P點(diǎn)的坐標(biāo)為P₁（1，-4），P₂（1，-$\frac{26\sqrt{7}}{7}$）．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及矩形的判定，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得D的坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．