Question

12．如圖所示，直線y=2x+3與雙曲線y=$\frac{m}{x}$相交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且△OCA的面積為1.5．
（1）求雙曲線y=$\frac{m}{x}$的解析式；
（2）若點(diǎn)D，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，一動(dòng)點(diǎn)P沿著x軸運(yùn)動(dòng)，則|PA-PD|是否有最大值？如果有，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；如果沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線解析式求得C點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積求得A的橫坐標(biāo)，代入直線解析式即可求得A的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可求得m；
（2）聯(lián)立解析式求得B的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)求得D的坐標(biāo)，因?yàn)楫?dāng)A、D、P在一條直線上時(shí)，|PA-PD|的值最大，所以根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AD的解析式，然后即可求得直線與x軸的交點(diǎn)，即為P點(diǎn)．

解答 解：（1）由直線y=2x+3可知，C（0，3），
∴OC=3，
∵△OCA的面積為1.5．
∴$\frac{1}{2}$OC•x_A=1.5，
∴x_A=1，
代入y=2x+3得，y=2×1+3=5，
∴A（1，5），
把A代入y=$\frac{m}{x}$解得，m=5，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{5}{x}$；
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{x}}\\{y=2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{5}{2}}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴B（-$\frac{5}{2}$，-2），
∵點(diǎn)D，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴D（$\frac{5}{2}$，2），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{\frac{5}{2}k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=-2x+7，
令y=0，則-2x+7=0，解得x=$\frac{7}{2}$，
∴當(dāng)P（$\frac{7}{2}$，0）時(shí)，|PA-PD|有最大值．

點(diǎn)評(píng) 主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，中心對(duì)稱的性質(zhì)，（2）確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．