Question

20．在直角坐標(biāo)系中，有如圖所示的Rt△ABO，AB⊥x軸于點(diǎn)B，斜邊AO=10，sin∠AOB=$\frac{3}{5}$，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象經(jīng)過AO的中點(diǎn)C且與AB交于點(diǎn)D．
（1）求k的值；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△OCP為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，由AB也與x軸垂直，得到CE與AB平行，又C為OA的中點(diǎn)，可得出E為OB的中點(diǎn)，即CE為三角形AOB的中位線，在直角三角形AOB中，根據(jù)斜邊AO的長及sin∠AOB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長，再利用勾股定理求出OB的長，利用三角形中位線定理得到CE等于AB的一半，可得出CE的長，即為C的縱坐標(biāo)，由OE等于OB的一半，由OB的長求出OE的長，即為點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入到y(tǒng)=$\frac{k}{x}$中，求出k的值，即可確定出反比例函數(shù)解析式；
（2）由AB與x軸垂直，且D在AB上，可得出D與B的橫坐標(biāo)相同，由OB的長得出D的橫坐標(biāo)，將求出的D的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求出對(duì)應(yīng)的y的值，即為D的縱坐標(biāo)，即可確定出D的坐標(biāo)；
（3）分OC=PC，OC=OP及PC=OP三種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）過C點(diǎn)作CE⊥OB于E，
∵AB⊥OB，CE⊥OB，
∴CE∥AB，又C為OA的中點(diǎn)，
∴E為OB的中點(diǎn)，即CE為△AOB的中位線，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB，OE=$\frac{1}{2}$OB，
在Rt△AOB中，AO=10，sin∠AOB=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠AOB=$\frac{AB}{AO}$，即AB=10×$\frac{3}{5}$=6，
根據(jù)勾股定理得：OB=$\sqrt{{OA}^{2}-{AB}^{2}}$=8，
∴OE=4，CE=3，
∴C的坐標(biāo)是（4，3），
將C（4，3）代入y=$\frac{k}{x}$中得：k=12，
則反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{12}{x}$；

（2）∵AB⊥x軸，D在AB上，且OB=8，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為8，
將x=8代入y=$\frac{12}{x}$中得：y=1.5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，1.5）；

（3）當(dāng)OC=PC時(shí)，
∵OA=10，CO=5，CE⊥OB，AB⊥OB，
∴CE是△OAB的中線，
∴CE是OB的垂直平分線，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，
∴P₁（8，0）；
當(dāng)OC=OP時(shí)，
∵OC=5，
∴P₂（-5，0），P₃（5，0）；
當(dāng)OP=PC時(shí)，
∵C（4，3），
∴直線OC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x，OC的中點(diǎn)為（2，$\frac{3}{2}$），
∴設(shè)線段OC的垂直平分線為y=-$\frac{4}{3}$x+b（k≠0），
∴$\frac{3}{2}$=-$\frac{8}{3}$+b，解得b=$\frac{25}{6}$，
∴此直線的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{6}$，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{25}{8}$，
∴P₄（$\frac{25}{8}$，0）．
綜上所述，P₁（8，0），P₂（-5，0），P₃（5，0），P₄（$\frac{25}{8}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，在解答（1）時(shí)要作出輔助線，構(gòu)造出三角形的中位線，利用勾股定理求解，在解答（3）時(shí)要進(jìn)行分類討論，不要漏解．