Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線PA是一次函數(shù)y=x+m（m＞0）的圖象，直線PB是一次函數(shù)y=-3x+n（n＞m）的圖象，點P是兩直線的交點，點A、B、C、Q分別是兩條直線與坐標(biāo)軸的交點．若四邊形PQOB的面積是5.5，且CQ：AO=1：2，若存在一點D，使以A、B、P、D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標(biāo)為（$\frac{13}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（-$\frac{11}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{2}$）．

Answer 1

分析 已知直線解析式，令y=0，求出x的值，可求出點A，B的坐標(biāo)．聯(lián)立方程組求出點P的坐標(biāo)；先根據(jù)CQ：AO=1：2得到m、n的關(guān)系，然后求出S_△AOQ，S_△PAB并都用字母m表示，根據(jù)S_{四邊形PQOB}=S_△PAB-S_△AOQ，列式求出m與n的值，得出點P的坐標(biāo)；根據(jù)圖形以A、B、P、D為頂點的四邊形是平行四邊形，如圖所示，求出滿足題意D₁，D₂，D₃的坐標(biāo)．

解答 解：在直線y=x+m中，令y=0，得x=-m，
∴點A（-m，0），
在直線y=-3x+n中，令y=0，得x=$\frac{n}{3}$，
∴點B（$\frac{n}{3}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-3x+n}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{n-m}{4}}\\{y=\frac{n+3m}{4}}\end{array}\right.$，
∴點P（$\frac{n-m}{4}$，$\frac{n+3m}{4}$），
∵CQ：AO=1：2，
∴（n-m）：m=1：2，
整理得3m=2n，
∴n=$\frac{3}{2}$m，
∴$\frac{n+3m}{4}$=$\frac{\frac{3}{2}m+3m}{4}$=$\frac{9}{8}$m，
由題意得：S_{四邊形PQOB}=S_△PAB-S_△AOQ=$\frac{1}{2}$（$\frac{n}{3}$+m）×（$\frac{9}{8}$m）-$\frac{1}{2}$×m×m=$\frac{11}{32}$m²=5.5，
解得：m=±4，
∵m＞0，
∴m=4，
∴n=$\frac{3}{2}$m=6，
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），
存在一點D，使以A、B、P、D為頂點的四邊形是平行四邊形，
過點P作直線PM平行于x軸，過點B作AP的平行線交PM于點D₁，過點A作BP的平行線交PM于點D₂，過點A、B分別作BP、AP的平行線交于點D₃．
①∵PD₁∥AB且BD₁∥AP，
∴PABD₁是平行四邊形．此時PD₁=AB，易得D₁（$\frac{13}{2}$，$\frac{9}{2}$）；
②∵PD₂∥AB且AD₂∥BP，
∴PBAD₂是平行四邊形．此時PD₂=AB，易得D₂（-$\frac{11}{2}$，$\frac{9}{2}$）；
③∵BD₃∥AP且AD₃∥BP，此時BPAD₃是平行四邊形．
∵BD₃∥AP且B（2，O），
∴y_BD3=x-2．同理可得y_AD3=-3x-12，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-3x-12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴D₃（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{2}$）．
故答案為：（$\frac{13}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（-$\frac{11}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{2}$）

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：一次函數(shù)圖象的交點，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．