Question

3．如圖，已知PA為⊙O的切線，割線PB交圓于B，C兩點(diǎn)，連PO，AD⊥PO于D點(diǎn)，連接CD，BO，求證：∠PDC=∠PBO．

Answer 1

分析 連結(jié)OA，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAP=90°，則可判斷△PDA∽△PAO，利用相似比可得PA²=PD•PO，再根據(jù)切割線定理得PA²=PC•PB，所以PD•PO=PC•PB，即$\frac{PC}{PO}$=$\frac{PD}{PB}$，加上∠DPC=∠BPO，則可判斷△PCD∽△POB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：連結(jié)OA，如圖，
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵AD⊥OP，
∴∠PDA=90°，
而∠DPA=∠APO，
∴△PDA∽△PAO，
∴$\frac{PA}{PO}$=$\frac{PD}{PA}$，
∴PA²=PD•PO，
∵PA為切線，AB為割線，
∴PA²=PC•PB，
∴PD•PO=PC•PB，
即$\frac{PC}{PO}$=$\frac{PD}{PB}$，
而∠DPC=∠BPO，
∴△PCD∽△POB，
∴∠PDC=∠PBO．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．